本篇文章旨在证明微积分基本定理，对于不那么热衷于代数的人来说，这是一种视觉方法，而对于那些对精确性不那么严格的人，要采用一种代数的，稍微更严格的方法。

我们将理解数学中最重要的历史证明之一。之所以重要，是因为它将以前不可能解决的问题（即函数的积分问题）简化为查找导数的艺术。

这个证明的奇妙之处在于，有两种方法，两者互为补充，但也可以独立理解。首先，我们将看到定理的非正式表述，以及证明的非正式表述。这将给让我们直观感受微积分并且了解它的本质。这个证明是可视化的，不需要过多或复杂的代数。这一部分将传达一些关键的思想，而不用代数，但代价是不那么精确。

导数简介

导数是关于用直线逼近函数的。它的思想是，在一点附近，切线可以很好地近似函数的变化方式。一条直线在某一点上的导数可以看作是该点“最佳”线性近似值的斜率。

导数是接近某一点的“最佳”线性逼近。

对于很多函数，关于函数的很多信息都包含在使用线性函数来近似它的过程中。显然，这种近似不是完美的，但我们就可以了解到函数的很多信息。

第0部分：非正式表述

微积分基本定理告诉我们，如果我们将F(x)定义为F(t)图像下在0到x之间的面积，那么F(x)的导数就是f(x)

让我们来理解一下这是什么意思。下面是一条红线，这是我们的函数f，我们想求出0到x之间的面积。函数F告诉我们，对于x轴上的每一点，曲线下的面积是多少。

我们想要确定函数F在x点处的导数是什么。我们可以用图形计算器来绘制F(x)，如下所示：

函数F的图像

这个函数看起来应该有导数。但它是什么呢？

第一部分：非正式的证明

F(x)在x附近的最佳直线近似值是什么？

假设F(x+dx)大致等于F(x) +dx * F(x)

例如，在x = 8时，我们可以说F(8.00001)很接近于F(8) +0.00001* F(8)。对此的“视觉”证明是什么？

再看一下图下的面积。

当我们使用近似F(x+dx)大约等于F(x) +dx * F(x)，我们看到以下内容。dx*f(x)用红色矩形的面积表示，它的高是f(x)，宽是dx。这是一个好的线性逼近吗？是的！重新写一下，x = 8处的近似函数是F(8) + h* F(8)。我们还可以看到，这个矩形包含了F(x+dx)得到的所有面积。下面可以看到，我们遗漏的区域只是蓝色阴影的小区域，它比矩形区域小得多。

然而，我们可以对这个证明做一些改进。它在这个图上看起来是一个很好的近似，但是它对所有的图都适用吗？此外，我们如何定义我们的“最佳线性近似”?这就需要用一些代数来表述这个问题。

第二部分：使用代数的语句

首先，我们要定义导数。具体做法如下：

极限的意思是看当dx趋近于0时表达式的变化。所以，你可以计算下面的序列，看看它趋向于什么：

我们得到了一个很好的视觉图形：

然后我们看到，当dx趋于0时，F(x)和F(x+dx)之间的直线的梯度的极限被定义为导数。这可以从下面的GIF中看到：

我们使用极限是因为，当x = 0.01或0.00001对这个函数来说似乎是很小的，但对于一个像x^1000000000000000000000000000这样的函数来说，0.01的差会导致结果的巨大变化。该限制意味着dx可以任意减小，以便我们始终可以放大缩小到足以使我们的函数可以由直线近似的程度。

接下来，我们需要一些符号来表示曲线下从0到x的面积，如下：

f(t)dt是什么意思？一种看待它的方法是f是某个变量t的函数，因此我们对t进行积分。表示我们积分距离的变量是x，因此积分的上限是x，但我们将f（t）写成t的函数。除了避免两次使用'x'之外，我们为f使用哪个变量名实际上都没有关系。

现在，我们的任务是证明：

第三部分：用代数方法证明

我们现在证明：

首先我们观察到

这是因为我们只关心x和x+dx之间的面积。如下图所示，我们对红色区域非常感兴趣。

那么，接下来的问题就是求出下面的极限是什么：

这里我们假设f(t)在t = x处是连续的。x点连续性的定义是什么?这将花费你一点时间来理解！

英文表述比中文表述更好理解

这是什么意思？举个例子，例如，你可以将“ε”设置为0.001。然后，我可能会发现如果t与x之间的距离小于0.00001，那么我们就可以保证|f(t) — f(x)| < 0.001。在本例中，假设x = 8，那么|f(8) — f(8.000001)|<0.001，因为8.000001离8的距离小于0.00001。

表达这个思想的另一种方式是：