黄老师讲数学（539）与体对角线垂直的面-高一立体几何提高题

下面一道高一立体几何题挺好的，记录一下。

A选项全凭想像。当液体体积是正方体体积一半时候，不管如何旋转容器，液面总是经过正方体的中心点。换句话说，经过正方体的中心点的平面，总把正方体切成一模一样（形状一样）的两个部分，所以A是对的。

后面几个选项的判断需要用到如下一个很有用的结论。这个结论，我以前也讲过，可以搜索往期我的内容。简单说，就是体对角线会垂直下面那个正三角形所在的平面，同时线面的交点P落在体对角线的一个三等分点上（如下用等积法证明）。

下面几个图画出了与体对角线垂直的这个平面上移或者下移之后，切正方体的截面情况（也即该平面与正方体表面交线情况）。

B选项，只要通过把体对角线BD1放置成竖直方向，那么在下图的1,3情况下，是可以做出液面是正三角形的。但是中间第2种情况，液面是六边形，无法做到正三角形，B错。

下面两个图想说明C选项，什么时候截面（即液面）面积最大，首先液面面积最大是出现在上面第2种情况下的。下图中的第一个图，从图中添加的辅助先，可以看出，位置变化过程中，液面六边形的周长保持定值。

那么可以理解，当六边形为正六边形的时候，面积最大（可以类比长方形周长一定，则为正方形时候，面积最大）。求出最大面积如下，C选项对。同时说明下，截面（液面）为正六边形时候，刚好平分体对角线。

D选项的问题一些同学读不懂题目意思。我如果把正方体画成如下图，就比较好理解了。把体对角线BD1做成水平。想像一下，就好用一只手的拇指和中指顶着一个魔方的那两个顶点B和D1，BD1保持水平，整个魔方可以在手中以BD1为轴转动。这样就满足题意“液面恰好经过某条体对角线...”

此时液面也必然经过棱CD（或其他，由于对称性考虑CD即可）。即求下图D1Q+QB最小值（另外半边对称乘以2即可）。

详细原理如下几个图，即空间版的将军饮马问题。D选项也对。

Q刚好是中点，Q'也是。此时周长最小的液面是菱形。