高斯说，如果不能一眼看出欧拉公式，永远成不了一流的数学家
欧拉方程是迄今为止最美丽的数学公式。它简单、优雅，汇集了一些最重要的数学常数，并有奇怪的数学和物理解释。
让我们仔细检查一下。
这个公式
欧拉的标志公式就是本文标题中显示的那个。让我们再来看看这里：
自从这个三项公式被创造出来以来，它就一直让全世界的数学家们感到惊讶，因为它建立了包含在其中的不同元素和它的不同解释之间的惊人联系。
在这篇文章中，我们将试着揭开欧拉身份的神秘面纱，并展示它的神奇之处。
在那之前，让我们看看这个公式是怎么来的。
欧拉恒等式的历史。
1714年，英国物理学家和数学家罗杰·柯特用一个公式建立了对数、三角函数和虚数之间的关系。
20年后，莱昂哈德欧拉(Leonhard Euler)得出了同样的公式，但使用的是指数函数而不是对数。这两个公式以及如何从一个到另一个在下面的图中进行了说明。
1714年的Roger’科特斯方程(上)，1748年的欧拉公式(下)值得注意的是，没有一个作者看到他们的公式的几何内涵，我们将在后面讨论。
现在，如果我们详细说明欧拉公式x =π的值，我们得到了著名的欧拉恒等式。
通过用x代替Euler公式中的π，我们得到Euler的恒等式
首先也是最重要的人物是莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）。他对数学和物理世界的贡献从图形和数论到流体力学。
现在，让我们来看看这个公式和它的不同的项。
首先是指数函数e，这个函数很特殊，有很多原因，首先，它是自己的导数。
如果你把f(x) = e^x看作位置，它的导数是速度，这意味着速度总是等于位置。如果我们在位置e，速度也是e。如果移动更远e，然后速度也是e。酷吧？同样，如果我们稍微改变一下函数，就像这样，b是一个实数：
然后我们得到速度与速度成正比。后与之前相同的例子，如果b = 2我们可以得到，在x = 2,我们可以得到e位置和2 e速度。速度是速度的两倍。接下来会发生什么，如果不是实数，而是一个虚数，就像这样：
按照前面例子的叙述，让我们看看这对于位置和速度之间的关系意味着什么。为此，我们必须超越我们的实数感知，扩展到复杂平面上。它是这样的：
在复平面上，实数乘以i，意味着从实轴到虚轴旋转90度。稍后将对此进行详细介绍。最后以e结尾，它还存在于广泛的物理现象中，是放射性、电子学和人口增长的关键元素。
虚数：i。最初，数字的发明是为了记录整个物体的数量。自然数就是这样产生的。然后，需要一种机制来跟踪某人何时欠了另一个人一个完整的对象。整数诞生了，它是以前自然数向负数的延伸。
在这之后，需要记录分数，或整个物体的一部分，产生了有理数。最后，描述分数小数的数字永远继续下去(如π)被发现在数学，因此无理数出生。所有之前的数字都属于实数范畴。
虚数是另一种性质的东西。
在他们出生的时候，虚数被认为是一种数学工具，用来处理负数的平方根，而“虚数”这个词带有贬义。i，表示虚数的字母，等于-1的平方根。
直到我们欧拉出现，-1的平方根才被赋予了这个字母作为表示法，并开始被认为是有用的。在此之后，它自然地出现在各种各样的物理问题中，如电和磁定律，或波动力学。
圆周率 π。这个神奇的无理数不需要介绍。它在数学中无处不在，它在这里的出现。最后，0和1。这些数字是其他所有数字的来源。使用这两个，可以获得任何现有的数字。现在，在快速演示了欧拉公式之后，让我们看看它们是如何完美地结合在一起的。
演示
在我们看到欧拉公式的精彩解释之前，让我们先证明它是正确的，并对如何从数学上得到它给出一些见解。
这个工具就是著名的泰勒级数。对于那些从未听说过它们的人，不要害怕，它们只是复函数的多项式近似，如指数函数、三角函数、对数函数等……
你不需要记住这些，它们只是多项式函数(在表的右边)，与它们所近似的复函数(在表的左边)有相似的值。
现在，这里只有三个问题困扰着我们，指数，余弦和正弦。
仔细看看这些。它们看起来很相似，对吧?就像指数是余弦和正弦的某种组合，有不同的符号。它们是如何一起形成欧拉公式的呢?首先，让我们看看指数函数的级数是怎样的如果我们邀请我们的朋友i来参加聚会。
指数函数的泰勒级数，指数为ix注意，我们是如何根据这一项及其多项式值，根据以下顺序得到i、-i、1或-1的：
不同多项式指数的i的值现在，让我们仔细研究一下e^ix的级数。
e^ix的泰勒级数是cos(x)和i*sin(x)的组合如果我们看一下替换项，我们可以看到，橙色的是cos(x)的泰勒级数，蓝色的是sin(x)乘以i的泰勒级数。因此：
欧拉公式证明!好了，不好意思，这道数学题太难了，现在，我们来看看它的解释。
欧拉公式的几何解释
为了理解这个公式的解释，我们必须还原复平面。
通过查看此图，我们可以看到每个角度α都给我们一个半径为1的圆周点：（cos（α），sin（α））。我们还可以看到cos（α）代表这一点的实部，而sin（α）代表虚部。此类坐标由直角坐标上的两个值组成，这些坐标由平面上的点定义，并具有两个来自正交方向的值。
这和欧拉方程有什么关系?让我们把它使用α。
这是在告诉我们，如果我们取任意数量的弧度并将其插入到α中，我们得到的就是围绕此半径为1弧度的半径1的圆周旋转，这反过来又意味着我们处于该点（cos（直角坐标系中的α），sin（α））。
关于指数（e）的神奇之处在于，如果我们考虑将一个数字提高到一个虚数指数，就是围绕半径1的这个圆周旋转α弧度，如果我们采用除e以外的任何其他数字并且这样做，我们将会绕圆周移动一定距离，如下图所示：
让我解释。当我们取数字2并将其提升到iα时，如果α= 1弧度，我们将在橙色点上，因此沿着圆周从灰色的“ 开始”点到橙色点（沿黄线）移动了一段距离为0,693。
如果我们对数字5这样做，我们就会从灰色点到绿色点1,609走了一段距离。然而,如果我们使用神奇数字e我们旅行的距离是1,一模一样我们给了α的值。哇。
但是，等等，事情并没有在这里结束。如果我们从点(1,0)的轴,我们给απ的值,我们会把π弧度(周长的一半),我们会一起完成了距离这个π的周长,其身份和欧拉方程的形式：
现在，如果我们把1移到另一边，我们可以看到这个等式的另一个形状。我将用下面的问题让你发现为什么这是如此的棒：在这个旋转之后，我们将位于平面上的哪个点?
结论
欧拉恒等式是我们这个时代最美丽的公式之一。有报道称，著名数学家高斯曾说过，如果这个公式不是一眼就能看出来的，他就永远成不了一流的数学家。
另一方面，在1800年，另一位数学家本杰明·普莱斯，说：
这绝对是自相矛盾的，我们不能理解它，我们不知道它意味着什么，但我们已经证明了它，因此我们知道它一定是真理。
这是一个奇妙的公式，它如何结合在一起的所有不同的元素，并为其意义。然而，本文并没有解释欧拉公式的所有内容。