哈尔莫斯：数学的心脏
数学的心脏
作者：哈尔莫斯
编者按
原文标题 The Heart of Mathematics 发表于The American Mathematical Monthly, Vol. 87, No. 7 (Aug. - Sep., 1980), pp. 519-524。本文根据两篇中译文（译者分别是西北大学数学系弥静、上海中学唐盛昌）改编。作者Halmos是编者最喜爱的数学家之一，他根据Von Neumann的讲义写成的Finite-Dimensional Vector Spaces 是线性代数的经典。Halmos提倡摩尔教学法，提倡解题的教学，他还专门写了三本习题集，分别是:《希尔伯特空间问题集》（A Hilbert Space Problem Book，有中译本）， 《老少数学家皆宜的问题集》（Problems for Mathematicians, Young and Old）以及《线性代数问题集》（Linear Algebra Problem Book）。
关于Halmos的更多信息，有兴趣的读者也可以将他的自传（有中译本）《我要做数学家》找过来一睹为快。
以下是改编的中译文。
引言
从本质上讲数学是由什么组成的? 是公理(如平行公理) ? 是定理( 如代数基本定理) ? 是证明( 如哥德尔关于不可判定性的证明) ? 是概念( 如集合与类的概念)? 是定义( 如Menger对于维数的定义) ? 是理论(如范畴论) ? 是公式( 如柯西积分公式) ? 还是方法( 如逐次逼近法) ?
诚然,没有这些组成部分, 数学就不存在; 这些都是数学的必要组成部分。但是, 它们中的任何一个都不是数学的心脏, 这个观点是站得住脚的。数学家存在的一个主要理由就是求解问题。因此, 数学的真正组成部分是问题和求解。
在大多数数学家的词汇中, “定理”是一个受尊重的字眼，而问题却往往并不如此。有时同行们使用的“问题” 这个词, 是指那些较初等的练习, 规定给以后将学习如何证明定理的学生使用。但是, 这种富有主观色彩的用语, 却并不总是正确的。
自然数的交换律和复数域上多项式方程的可解性都是定理, 但前者被视作是明显的(接近于基本定义, 易于理解也易于证明)，而后者则是深奥的(陈述不那么显然, 证明要用到看来关系较远的概念, 而结果有许多出人意料的应用)。为三T游戏(tic-tac-toe,在井字格上划圈和叉以定胜负) 寻求一种必胜策略与确定Riemann -函数的所有零点也都是问题, 但前者是明显的(任何一个理解定义的人, 几乎不需要动什么脑筋, 都能迅速想出解答。不会由此产生什么成功的感觉, 结论也没有什么意思),而后者则是深奥的(虽然有许多人致力于它, 却还是没有找到答案。得出部分结果就需要作出巨大的努力, 并具有深邃的洞察力。而关于它的确定答案必将包含许多不平凡的推论)。结论: 定理可以是明显的, 问题也可以是深刻的。相信数学的核心是由问题所组成的那些人并不一定是错误的。
问题集
如果你想关于数学问题写一篇论文或一本书, 你打算怎样进行? 初等数学（微积分以前)问题,本科生或研究生水平的问题, 或一个未知答案的研究问题。对于已知解答的问题, 你搜不搜集? 这些问题按某个系统顺序排列( 放在适当位置上便会提示解答）、 或是“ 随机”地排列? 你期望读者从你的著作中得到什么: 趣味, 技能, 或者实际知识（或各有一些) ?
对于这些问题的所有可能的回答早己给出。论述数学问题的文献资料广博而浩瀚, 其数量仍在增加, 日新月异。在这大量文献中, 只要浏览一下标号为QA43(国会图书分类)的那一部分, 就能给人以精神振奋与难以忘怀的感觉。当然还有散布在其他各个部分的数学问题的丰富来源。下面就对此作一简捷的评述。这里所述及的问题并不是信手拈来的。它们很可能十分典型, 不是偶然收集的图书资料就能全面包括的。
Hilbert问题
由提供给数学工作者研究的问题所构成的问题集, 是最冒风险的。可能也较难赢得荣誉。你的问题可能在几星期、几个月或者几年 内即得到解决。于是你的工作就将比大多数的数学探索更快地过时了。如果你没有如Hilbert那样的才华, 你就难以肯定你的那些问题是否是浅薄的, 或者是根本无解的。或是提得很差的, 反而使得与我们正在寻找的真理失之交臂——提炼不当, 引导无方, 没有长远的价值。
对二十世记的数学研究起过巨大影响的一系列研究问题, 是Hilbert于1900年在巴黎国际数学大会上给出的23个著名问题[3]。Hilbert的23个问题中的第一个，是连续统假设:实数集的每一个不可数子集，是否与实数集本身一一对应？甚至在1900年，这个问题已经不是最新的了，随后虽然做出了更大的进展，有些人认为问题已解决，但其他一些人仍坚持认为，离充分了解还相距甚远。
Hilbert的问题深浅不等, 涉及到数学的许多分支。有些属于几何学（如果两个四面体有相同的体积，它们能否被分割为一样多的小四面体，使得各自的小四面体集合之间形成全等的一一对应？回答是否定的。），有些属于数论（二的根号二次方是超越数吗？回答是肯定的。）其中许多问题尚未解决。截止到1974年的大多数进展已经发表,并被收集在1976 的一本文集[5]中。但是数学家的求知欲并不到此为止。那以后又写出了相当数量的解释性的或实质性的论文。（注：参见wiki条目https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_problems）
Pólya–Szegő
最负盛名、内容也最为丰富的问题集, 恐怕是Pólya-Szegő的那本《分析中的问题和定理》[6]。它在1925年初版, 1972 和1976 年又重版(英译本)。半个多世记以来, 它作用巨大,是许许多多个研究课题的主要来源, 是一本标准参考书, 是各类考试题的取之不竭的源泉，引人入胜，而又对人有益。那些问题的水平从中学一直伸展到研究前沿。第一个问题问：把一块钱兑换成，面值为1分、5分，10分、25分和50分的方法的数目。从这个简单的问题出发，逐步引出复杂的问题，深入到Hadamard的三圆定理，切比雪夫多项式，格点，行列式，以及爱森斯坦因的关于有理系数的幂级数定理。
Heinrich Dörrie
Dörrie 的书《100个著名的初等数学问题》[1]其原名是《数学的凯旋》。这本书应该受到更多的注意。其内容横贯古今, 涉及2000多年的数学史实 。它按难度从初等算术的内容一直安排到常被用作研究生课程论题的那些材料。
比如,它包含了下述源自牛顿（Arithmetica Universalis,1707）的问题：
这是100个问题中的第三个。
这些问题更多地倾向于几何, 然而它包含着Catalan关于完全非交换、 非结合乘法系统里形成几个指定因子的乘积的方法的数目(问题7 ) , 和Fermat-Gauss不可能性定理(“ 两个立方数的和不是一个立方数” , 问题21 ) 。
还有两个例子给整个问题集增添了特殊的风味。“ 每个完全四边形可以作为一个正方形的透视像” ( 问题72) , “ 在地球表面的哪一点直立的垂直悬杆看起来最长? ”( 问题94，请参见wiki介绍：https://en.wikipedia.org/wiki/Regiomontanus%27_angle_maximization_problem ) 其文风是老式的, 但是其中有许多问题是有永恒意义的, 这是值得阅读的一本极好的书。
Hugo Steinhaus
接下来, 我们对波兰人Steinhaus的贡献作一些评论。跟Dörrie的书一样, Steinhaus的《一百个数学问题》也恰好是100个问题, 这些问题都是最初等的又确实是有趣味的问题。当人们提到“数学问题汇编” 时, 多数人都会想到这本书, 确实, 它是同类书中的典范。然而,这些问题的趣味不相同, 难度也不等。此外, 这 些问题阐明了解决问题的另一面: 要猜测一个问题的难度是多么困难, 因而 又是多么有意思。有时在得到答案以前, 几乎不可能正确判断问题的难度。
考虑三个例子：
当然, 对难度和趣味的看法是主观的, 所以我所能作的, 是写出我对它们的评价。
(1) 困难而且没有趣味, (2) 惊人地容易，且有中等趣味, (3) 比看上去要难些, 甚至乍看起来十分有趣味。为了诠释我的这些意见, 先叙述一个我所用的谁则: 若果这些数字( 10, 1000,71) 不能被任意的正整数代替, 我倾向于认为, 相应问题真是特别的单调无味。诊断结果表明：对(1) 的答案是肯定的, 而且Steinhaus用列出问题的解来证明它( 非常具体:, , , 等), 他用同样的方法证明了将14 代替10 的答案也是肯定的。并且, 他用了三页令人厌烦的计算,证明了关于75 的答案是否定的。他说, 事实上，对于17 的答案是肯定的, 而对于每个大于17 的正整数答案都是否定的。所以, 我说是单调无味。关于(2) 和(3) 的答案都是肯定的( 即1000或71可以替换为任意的正整数)。
Glazman-Ljubič
Glazman和Ljubič的书《有限维线性分析: 按照问题形式的系统表达》是一本异乎寻常的书(我不知道是否还有这种类型的其他著作)。尽管有某些缺点, 它仍然是呈给问题文献的一本漂亮而且令人振奋的作品。实质上, 这本书是(有限维) 浅性代数和浅性分析的一种新型教科书。它从复向量空间的定义和线性相关、线性无关的概念开始，此书的第一个问题是：证明由向量组成的集合是线性无关的，当且仅当。各章按逻辑关系顺次安排, 正如一般教科书所作的那样: 线性算子, 双线性泛函, 赋范空间等。
这本书不是解说性的散文, 也许可称为解说性的诗。它仔细地给出定义和给出有关的背景材料, 此书的主体由问题组成; 它们都表述为断言, 问题则是证明这些断言, 书中未给证明, 列出许多参考资料, 但却告诉读者无需查阅它们。
这本书中真正的新观点是它的鲜明中心: 这是一本不折不扣的讲泛函分析的书, 初开始甚至不要求读者知道矩阵知识。作者有创造性的观点是给予初学者 展示了容易明晰、 有启发性的、有限维情形, 已经发现的泛函分析中一些最深刻的分析事实的纯代数的情形。讨论主题包括谱理论, Toeplitz-Hausdorff定理, Hahn-Banach定理， 偏序向量空间, 矩量问题, 耗散算子, 以及其他许多这一类令人注目的分析结果。用这本朽可以开出一个漂亮的课程来（我很想开一个）, 在这个课程中受教育的学生有可能迅速成为神童泛函分析学家。
Gabriel Klambauer
在此评论的问题文献中的新近出版的、Klambauer的 《分析中的问题与命题》。它的主题是实分析, 虽然有一些初等的问题, 然而其问题的水平比较高级。它是一本优秀的令人兴奋的书。当然, 有一些缺点, 包括某些印刷错误和一些无意义的重复, 同时, 令人恼火的地方是没有索引, 以致在使用这本怜时产生了不应有的困难。然而, 它是一本启发性问题的巨大的来源。包括著名的和不太著名的例题和反例, 典范的和非典范的证明。它应当出现在每一个问题爱好者、每一个分析( 微积分水平以上) 教师、每一个想认真学习实分析的学生的书架上。
目录将此书分为四章: 算术和组合, 不等式, 序列和级数, 实函数。对每一章，我都将给出一些例子, 以传播它的风味。并且, 我希望, 更进一步激励读者的兴趣。
组合学一章证明: “ 舍9校验的规则”( 就是检验一个整数能否被9 整除, 看它的十进位数字之和能否被9 整除) ；的十进制展开的末尾有多少个0？
又问:在的展开式中，的系数是多少？
与这样的问题相伴的, 也有一些没那么有趣的问题, 也许只有它的创作者会喜爱它。这里, 有几个奇妙的问题( 例如, 用良序原理证明根2的无理性)。一个 简单的但激起兴趣的奇特问题是下面的命题:设是不同的正整数，则.
在不等式一章中包括许多著名的不等式（Hölder，Minkowski，Jensen 等人的不等式)和许多其他的分析学上有价值的, 但较为特殊的因而不太著名的不等式。似乎很少人有可能猜到答案的一个奇特问题是: 对每个正整数, 与哪个大？
序列一章有我所见到的最详细和完全的关于用符号表示的无限过程的那令人着迷的( 而又非平凡的) 收敛问题的讨论。学生可能乐于知道，这个结果归功于Euler 。一个更使人困惑的难题是: 形如(其中是正整数)的数在实数轴上的闭包是什么？
实函数一章也很丰富。它包含的超越性,Cantor集的某些基本性质,Lebesgue的处处连续而处处不可微函数的例子, 以及F. Riesz( 利用“ 太阳升起引理”) 对单调连续函数几乎处处可微的证明。有一个称为Osgood定理的讨论题, 即是闭区间上连续函数的Lebesgue有界收敛定理。还有Weierstrass多项式逼近定理(巧妙地分成许多小引理), 还有一个引起好奇的问题是代数基本定理的Gauss证明。作为最后的例子, 我提出一个问题: 它也许是常见的, 是否存在函数级数的一个例子, 在闭区间上连续,绝对收敛且一致收敛, 然而, 在这里Weierstrass M-判别法失效?
问题课程
我们今天的教师如何运用向题文献?我们承担的工作, 是为了把数学知识的火炬传给技术员, 工程师, 科学家, 人文科学家, 教师, 以及尤其是未来研究数学的数学家: 问题会对我们有帮助吗?
是的, 会有帮助的, 任何人有意义的生活的主要部分是解问题, 技术员, 工程师, 科学家等等专业人员的生活的相当一部分是解数学问题。所有教师, 特别是数学教师是给他们的学生多提问题少讲事实。也许教师在讲台上自信满满做一堂关于Weierstrass M-判别法的优美的演讲, 比起引导一堂瞎摸乱撞并用“ 有界性假设对于其结论是否需要的? ”这样的问题来结束讨论要更令人满意。然而, 我坚信，努力启发学生搜寻反例的摸索讨论会有无比的价值。
我曾经教过这样的课程, 其全部内容是由学生去解( 然后在全班展示) 的问题。从这样的课程中学生所学到的定理的数目, 将近于他们从系统讲演课中所能学到的一半数目。然而, 在问题课程中, 学习意味着获得聪明地提问题的素质和某些补漏洞的技术, 而证明多半会就此进行下去。从一个讲授课程中, 学习有时不过意味着学到一个定理的名字, 被它的复杂证明吓住了, 以及耽心它是否会在考试中出现。
取材
许多教师都苦恼于一个课程中取材的总量应该多少? 一个愤世嫉俗的人提出一个公式, 他讲,因为中等的学生对你告诉他们的东西只记得40%, 所以你应当在每个课程中塞进你所希望填人的材料的250%。照这种说法, 也许没法工作。
习题课起了作用。参加过我的问题课的学生, 被后继的教师所赞许。赞许他们灵活的态度, 迅速抓住事物核心的能力, 以及对问题敏锐探索的本领, 这说明他们懂得了课程内容。所有这些发生于不同的水平, 在微积分中, 在线性代数中, 在集合论, 当然, 也在测度论和泛函分析等研究生的课程中。
为什么我们必须把希望学生最后将要习得的所有内容都包含进去呢? 假设在一学期中, 学生必须掌握的重点课题有40个, 是否我们必须给出40 个完备的讲座, 并希望所有的学生都专心致志呢? 换一种做法是不是会更好些呢? 对20个课题, 只是每个化十分钟时间提及一下(名称、陈述、指示一下应用它的某个方向), 而对其他的20个课题, 则深入研究, 让学生解决问题, 学生构筑反例, 学生发现应用。我坚信, 后一种方法会教得更多,教得更好。某些材料确实没有包括进去, 但是许多东西却被发现了。因为方法本身可以打开探索的大门。在牢固建立起来的固定的事物结构的后面, 竟然存在这样的入口处,这可真是没有预料到的啊! 至于Weierstrass M-判别法本身或需要进行教学的别的什么材料——课本和杂志都放在那里, 学生只要研读一下就会知道的。
问题研讨班
问题课程可以是讨论一个集中的课题, 也可以通过讨论遍及几个领域的某些问题, 致力于促进那种探讨问题的态度与改善技巧。那样的技巧课程有时称为问题研究班。它可以适用于各种水平(初学者, 博士学位研究生或任一中间程度的团体)。
主持一个问题研讨班的最好途径，当然是提出问题。但是就如一个无所不知的教师在讲座课程中讲个没完一样, 如果一个学识渊博的教师在问题研究班中问个没完, 那同样是不恰当的。我强烈地推荐这样的方法: 在问题研究班中, 应该鼓励学生自己去发现问题(可从对在别处已接触过的那些问题提出修改问题开始)。对这些发现应予以公开表扬。正如 你不应该把所有的答案告诉学生一样, 你也不应该把所有的问题都交给学生。解决问题的最困难的一个方面, 就是提出恰当的问题, 而学会这样做的仅有途径就是实践。特别在研究水平一级, 如果我向研究生提一个确定的论题, 那我就不是在教他如何从事研究工作。一旦我不再管他, 他将如何选择下一个研究课题呢?
不存在教会一个人如何提出高质量问题的简单方法, 就如在教游泳或拉大提琴时没有捷径一样。但这不能成为无所作为的借口。你不可能代替别人游泳。你所能做的就是怀着同情的态度进行指导, 并用赞同这个手段来强化他所摸索到的正确方向。有时你可给以建议, 帮助他从坏的提法中得出好的问题。但是没有任何方法可以替代反复的尝试和实践。
一个明显的建议是一般化（推广）；而不那么显然的建议则是特殊化；一个比较成熟的建议则是寻找一般化中的非平凡的特殊情况。另一个众所周知的忠告属于Pólya: 把问题搞得容易一些(make it easier)。(Pólya 的格言应该被反复宣传, 具体来说, 这是指: 如果你不能解决一个问题, 那么必存在一个尚未解决的较容易的问题,你的第一步工作就是找到它! ) 我最喜欢的建议则是:提得尖锐一些(make it sharp)。这是指不要立即致力于原始的问题(是什么…… ? 何种情况下……? 是多少…… ?) ，而是先集中到一个较容易的(但不那么明显)是非问题：(是否…… ? )。
跋
我确实相信, 问题是数学的核心。我希望，作为教师, 无论是在教室里, 在研讨班里, 还是在我们所写的书籍文章里, 都应该反复强调这一点。应该把我们的学生培养成比我们更好的问题提出者与问题解决者。
参考文献
H. Dorrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics, Dover, New York, 1965. 有中译本 I. M. Glazman and Ju. I. Ljubic, Finite-Dimensional Linear Analysis: A Systematic Presentation in Problem Form, MIT, Cambridge, 1974. D. Hilbert, Mathematical problems, Bull. Amer. Math. Soc., 8 (1902) 437-479. G. Klambauer, Problems and Propositions in Analysis, Dekker, New York, 1979. 有中译本 Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems, AMS, Providence, 1976. G. Polya and G. Szego, Problems and. Theorems in Analysis, Springer, Berlin, 1972, 1976. 有中译本 H. Steinhaus, One Hundred Problems in Elementary Mathematics, Basic Books, New York, 1964. 有中译本
另外，编者向读者特别推荐几本书：
波利亚《怎样解题》、《数学与猜想》、《数学的发现》，皆有中译本 阿诺尔德《讲义和问题：给青年数学家的礼物》， V. I. Arnold, Lectures and Problems: A Gift to Young Mathematicians），介绍可见 20世纪最伟大数学家之一的阿诺德及其为儿童和父母设计思维训练题 陶哲轩《陶哲轩教你学数学》