重新认识微分和导数
今天这篇文章再换一个角度来谈论微分和导数，让我们从微分出现的原因说起。
出于种种原因，我们可能想去求曲线的长度、曲面梯形的面积：
求解思路是这样的，以求曲线长度为例，将曲线分为多个部分，每一部分都用切线来近似曲线：
划分的越细，直到划分为无穷多份，最终这些切线的长度加起来就是曲线的长度：
求曲边梯形面积也是类似的，用小矩形来近似曲边梯形的面积，随着小矩形的增多最终得到曲边梯形的面积：
上面的思想就是微积分的核心思想，“以直代曲”。曲线长度、曲边梯形就是“曲”，切线、小矩形就是用来近似（代替）的“直”，这种“直”就是 微分。关于这里还不了解的可以看“微分是什么？”这篇文章。
先不谈曲边梯形，本节先来回答曲线的微分是什么，也就是可以近似曲线的直线是什么？
2.1 几何分析
下面结合几何来理清一下求解的思路。假设有曲线 和直线 ，如果两者完全相等，那么有：
很显然这在整个曲线和直线上是做不到的，但肯定可以做到在某点上相等，比如让它们在 点相等，从几何上看就是曲线 和直线 在 点相交：
下面要更进一步，不过不要太贪心，只希望两者在 附近尽量相等。比如像下图一样，在 的区间内，曲线 和直线 相差很小：
这点如果可以做到，那就可以按照上一节说的，将曲线分成 份，每份都用各自的微分来近似。
2.2 代数分析
通过几何分析，思路已经理清楚了，要找的微分（直线）需要满足以下两点：
（1）曲线 和直线 要交于 点。假设直线 的斜率为 ，那么根据点斜式，可得直线函数：
这里面就是 还未知，求出了 就得到了想要的直线，也就得到了微分。
（2）曲线 和直线 要在 的区间内尽可能相等。用代数表示即为：
有约等号的式子是没法计算的，引入高阶无穷小 可以将约等号去掉：
高阶无穷小 的意思就是在 这个范围内无限的接近于 0。至于为什么它无限接近于 0，以及为什么是高阶无穷小，在文章的最后会进行补充说明。
2.3 解出直线的斜率
经过上面的分析我们有了：
这已经足够让我们解出直线的斜率 了。注意到 ，可以进行如下变形：
两侧取极限可得：
略微作一下化简可得：
至此我们就求出了 ，也就找到了 的 微分（直线 的形式还需要变一下才是真正的微分，关于这点可以参考“dx，dy是什么？”这篇文章）。
这个 在微积分中又有一个专门的名字，称为 的 导数。 如果存在（因为 是通过极限求得的，这个极限有不存在的可能），那么就称 可导。
上面的思路还可以进一步思考，如果要找最接近曲线 的多项式曲线呢？这会得到泰勒公式，就留给大家作课后习题吧。
这里补充说明两点：
（1）高阶无穷小 为什么表示在 的区间内无限接近于 0 ？这是因为它满足：
上面这个极限式意味着 越小，也就是越接近于 点， 越接近于 0。用动画表示就是：
上图中绿线就是曲线 ，蓝线为微分，可以看到随着 缩小，两者之间的距离 也无限接近于 0。
（2）为什么一定要高阶无穷小？同阶无穷小行不行？关于这点可以参考“为什么算出来的圆周率 π 等于 4 ？”这篇文章。