2021西班牙数学奥林匹克 中文翻译

第一天

1.点为半径为 的某个球的球心. 在球面上有三点, 满足为边长为的正三角形. 设在点所在的平面上的投影为点.过作的垂线, 设为它与球的两个交点之一. 求的大小.

2.对给定正整数, 定义 为方程 的正整数解的个数. 若, 就称是"奥林匹克"的. 求最小的"奥林匹克"的正整数, 以及最小的"奥林匹克"的正奇数.

3.有种颜色, 每种颜色有个小石子. 现在将这个小石子排成一行. 对任意一个小石子, 若它的左侧和右侧与它颜色不相同的小石子个数均为奇数, 就称这个小石子是"不好"的.
求不好的小石子个数的最小值.
若对每个小石子, 它左侧和右侧与其相邻的小石子中至少有一个小石子与它颜色相同, 求不好的小石子个数的最小值.

第二天

4.实数满足, 且

求的最小值与最大值, 并求取等号时的值.

5.有盏路灯排成两行, 每行有盏, 编号分别为. 每盏灯可能亮或者不亮. 我们称所有灯的开关情况为一种"状态". 换言之, 对两种状态, 若存在某盏灯, 在两种状态下分别是亮的或者不亮的, 则这两种状态不同.
若某种状态下, 第一行的亮着的灯的个数与第二行的亮着的灯的个数相同, 就称这是一个"好状态".
求证: 好状态的个数与所有状态的个数的比值为

6.中, , 内心为, 内切圆为, 为中点. 过作的切线(异于)与切于点. 求证: .