初中数学几何最值问题之“胡不归”问题
【问题背景】
“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当 k 值为 1
时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型
来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。
而当 k 取任意不为 1 的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无
法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点 P 在直线上运动和点 P 在圆上运动。
其中点 P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；
点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
本文将与大家共同探究线段最值问题“胡不归”问题的解决方案。
【知识储备】
线段最值问题常用原理：
①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
②两点间线段最短；
③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
【数学故事】
从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…何以归”。
这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
【模型初探】
（一）点 P 在直线上运动“胡不归”问题
如图 1-1-1 所示，已知 sin∠MBN=k,点 P 为角∠MBN 其中一边 BM 上的一个动点，点 A 在射线 BM、BN 的同侧，连接 AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?
分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点 P 作 PQ⊥BN 垂足为Q，则 k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,
∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值，
即 A、P、Q 三点共线时最小（如图 1-1-3），本题得解。
思考：当 k 值大于 1 时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？提取系数 k 即可哦！！！
【模型总结】
“胡不归”构造 某角正弦值等于小于 1 系数
过起点构造所需角（ k=sin ∠ CAE ）
过终点作所构角边的垂线
利用垂线段最短解决问题
【举例分析】
如图，四边形 ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M 为对角线
BD（不含 B 点）上任意一点,则 AM+1/2BM 的最小值为_________ .
分析：如何将1/2BM 转化为其他线段呢？
即本题 k 值为1/2，必须转化为某一角的正弦值啊，
即转化为 30 °角的正弦值。
思考到这里，不难发现，只要作 MN 垂直于 BC，
则 MN=1/2BM，
即 AM+1/2BM最小转化为 AM+MN 最小，本题得解。
【变式思考】：
(1)本题如要求“2AM+BM”的最小值你会求吗？
(2) 本题如要求“AM+BM+CM”的最小值你会求吗？
【中考真题】：