经济物理学——金融市场与湍流，从湍流特性中窥视金融市场规律
湍流和金融市场之间有一些有趣的相似之处。在这两种情况下，我们都可以确定大尺度的扰动被转移到连续的较小尺度。在液体的中，可以观察到系统中输入的能量（如搅动）被转移到越来越小的尺度。在金融市场，信息被大规模地“注入”，人们观察到反应向较小规模的个体投资者传递。由于它们内部存在多种交互类型，因此对它们建模极具挑战性。
尽管金融市场和湍流在定性上有相似之处，但在定量上，它们的对应关系是有限的。
图1：湍流射流的流动表现出多种尺度的行为，这是典型的湍流行为。
湍流是什么？
让我们考虑在管道中流动的流体，其参数如下：
运动粘度ν：也称为动量扩散系数，由粘度μ与流体的密度ρ比值给出
速度V
管道的直径为L
图2：右边的液体粘度较大。
在流体力学中，所谓的雷诺数或Re是一个无量纲的量，有助于预测流型。采用上述参数时流动流体的Re为：
式1：在直径为L的管道中，运动流体粘度为ν时的雷诺数。
图3：在直径为L的管道中，粘度为ν，速度V的湍流流体。雷诺数Re表示流体的紊乱程度。
雷诺数Re是流体紊乱度的度量。根据Re的值，流体可以是紊流或层流。层流变为紊流的过程称为层流-紊流转捩。
图4：层流。速度剖面，流体在层中相互滑动。
描述不可压缩流体动力学的著名方程是纳维-斯托克斯方程（ Navier-Stokes equations）：
式2：纳维-斯托克斯方程，V（r，t）是速度矢量场，P是压强。
V（r，t）是r时刻的速度矢量，P是压强。式2描述了具有非常大Re的湍流状态。
能量级联
在具有非线性动力学的系统中，如具有充分发展的湍流的流体，直接能量级联涉及能量从大尺度运动到小尺度的转移。如果存在中间尺度，则这个中间范围称为惯性次区。
图5:图中显示了湍流能谱中的产生、能量级联和耗散。
惯性范围内的能谱涉及能量从低波数到高波数的转移（能量级联），具有以下幂律形式：
式3：惯性范围内的能谱具有幂律形式。
柯尔莫哥洛夫1941年的理论
著名的苏联数学家安德雷·柯尔莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov）在两篇论文中表明，对于具有完全发展的湍流的流体（在Re→∞极限下的流体），会发生以下行为：
式4：均方速度增量在Re→∞时的行为。
图6：苏联数学家安德雷·柯尔莫哥洛夫
在惯性次区内。在等式4中，l对应的距离小于发生湍流行为的维度，大于动能被耗散成热量的长度。
比较金融市场和湍流力学
为了比较金融市场和湍流的行为，斯坦利和蒙塔纳分析了两个量，即：
标准普尔500指数在1984-1989年间的动态
具有非常大Re的三维湍流流体的速度V(t)。
在短时间内，这两个过程都是非平稳的、非高斯的和间歇性的。然而，在很长一段时间内，这两个过程都是渐近平稳的。
他们将标准普尔500指数与流体速度进行了四次比较，即：
Y(t)和V(t)之间的时间演化
Z(t)= ΔY(t)和U(t)=ΔV(t)之间的变化
Z(t)与U(t)的标准差σ(Δt)与Δt的函数关系
在Y(t)和V(t)的功率谱S(f)之间
标准普尔500指数的时间演化与流体速度
下图7比较了间隔Δt =1小时采样的标准普尔500指数与完全发展湍流（极大雷诺数Re）下大气风速的时间演变。
图7：标准普尔500以一小时为间隔采样（上图）。湍流充分发展（下图）中的大气风速。
标准普尔500指数和流体速度的变化
图8中上图显示了标准普尔500指数间隔Δt=1小时的变化，下图显示了流体速度的变化（在较高的采样率下）。我们看到，对于紊流来说，x轴是对称的，而金融数据则不是。下面将通过指数Z(t)= ΔY(t)和流体速度增量U(t)=ΔV(t)的标准差来确认这种差异。
图8
标准普尔500指数和流体速度增量的标准差
斯坦利和蒙塔纳还研究了Z(t)和U(t)过程的波动性σ(Δt)与Δt的函数关系，如图8所示。这两种情况都是幂律：
式5：作为Δt函数的增量概率分布Z(t)的波动率和速度增量V(t+Δt)-V(t)的标准偏差均显示幂律行为，指数分别为ν=0.53和ν=0.33。
虽然σ(Δt)在这两个过程中表现出幂律行为，但它们之间的时间相关性有很大的不同。更具体地说，我们有：
概率分布P(Z(t))的波动率σ(Δt)具有超扩散行为的初始区间，其次是扩散行为，具有不相关增量的典型随机过程。
概率分布P(U)的标准差，其中U是速度增量U(t) = V(t+Δt)-V(t)作为Δt的函数，对于湍流流体具有最初的超扩散行为，但随后是指数为0.33的次扩散行为，非常接近理论值的1/3。
图9：标普500指数时间序列（上）的概率分布P(Z)的增量Z(t)作为Δt的函数的波动率σ(Δt)。概率分布P(U)的标准偏差，其中U是速度增量U(t) = V(t+Δt)-V(t)作为Δt的函数的湍流流体（下）。
谱密度
平稳随机过程的功率谱是其自相关函数的傅里叶变换：
式6：平稳随机过程的功率谱。
随机过程的S(f)具有以下函数形式：
式7：随机过程的谱密度。
我们可以用它们的功率谱来比较这两个过程。两者都服从以下的函数形式：
式8：两个过程的功率谱都是这种形式，但η有很大不同。在惯性和耗散范围内，标普500指数η=1.98，速度时间序列η=5/3和η=2。
这两个过程都有式8形式的S(f)，但指数相差很大。对于标准普尔500指数，η=1.98，这与随机过程的指数非常接近。低频和高频速度时间序列η分别为5/3和η=2。
相似点和不同点
对湍流体动力学和标准普尔500指数的比较分析表明，同样的方法可以用于检验具有已知但不可解运动方程的不同系统。
相似之处包括存在间歇性行为，非高斯概率分布逐渐收敛到高斯吸引子。不同之处包括两个系统中概率分布的形状，以及速度波动与标准普尔500指数波动不相关的事实。
这篇文章是基于这篇自然杂志文章和H.E. Stanley和R.N. Mantegna的教科书《经济物理学导论》中关于金融市场动态和湍流特性之间关系的讨论。
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