《九章算术》原文

它是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，《方程》章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。

作者：张苍、耿寿昌、刘徽刘徽（约225年—约295年），汉族，山东滨州邹平市人，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一。是中国数学史上一个非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观。他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生。他虽然地位低下，但人格高尚。他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。全文内容较多，本文仅摘选第一卷内容展示。序昔在庖犠氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之数，以合六 爻之变。暨于黄帝神而化之，引而伸之，于是建历纪，协律吕，用稽道原，然后 两仪四象精微之气可得而效焉。记称隶首作数，其详未之闻也。按周公制礼而有 九数，九数之流，则《九章》是矣。往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北 平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故 校其目则与古或异，而所论者多近语也。徽幼习 《九章》，长再详览。观陰陽之 割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作 注。事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本榦知，发其一端而已。又所析理以 辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。且算在六艺，古者 以宾兴贤能，教习 国子；虽曰九数，其能穷纤入微，探测无方；至于以法相传， 亦犹规矩度量可得而共，非特难为也。当今好之者寡，故世虽多通才达学，而未 必能综于此耳。《周官·大司徒》职，夏至日中立八尺之表。其景尺有五寸，谓 之地中。说云，南戴日下万五千里。夫云尔者，以术推之。案：《九章》立四表 望远及因木望山之术，皆端旁互见，无有超邈若斯之类。然则苍等为术犹未足以 博尽群数也。徽寻九数有重差之名，原其指趣乃所以施于此也。凡望极高、测绝 深而兼知其远者必用重差、句股，则必以重差为率，故曰重差也。立两表于洛陽 之城，令高八尺，南北各尽平地。同日度其正中之时。以景差为法，表高乘表间 为实，实如法而一。所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表间为实，实如法 而一，即为从南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地为句、股，为之求弦，即 日去人也。以径寸之筒南望日，日满筒空，则定筒之长短以为股率，以筒径为句 率，日去人之数为大股，大股之句即日径也。虽夫圆穹之象犹曰可度，又况泰山 之高与江 海之广哉。徽以为今之史籍且略举天地之物，考论厥数，载之于志，以 阐世术之美，辄造《重差》，并为注解，以究古人之意，缀于句股之下。度高者 重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望。触类而长之，则虽幽遐诡 伏，靡所不入，博物君子，详而览焉。卷一○方田（以御田畴界域） 今有田广十五步，从十六步。问为田几何？答曰：一亩。又有田广十二步，从十四步。问为田几何？答曰：一百六十八步。〔图：从十四，广十二。〕 方田术曰：广从步数相乘得积步。〔此积谓田幂。凡广从相乘谓之幂。淳风等按：经云广从相乘得积步，注云广从相乘谓之幂。观斯注意，积幂义 同。以理推之，固当不尔。何则？幂是方面单布之名，积乃众数聚居之称。循名 责实，二者全殊。虽欲同之，窃恐不可。今以凡言幂者据广从之一方；其言积者 举众步之都数。经云相乘得积步，即是都数之明文。注云谓之为幂，全乖积步之 本意。此注前云积为田幂，于理得通。复云谓之为幂，繁而不当。今者注释，存 善去非，略为料简，遗诸后学。〕 以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。〔淳风等按：此为篇端，故特举顷、亩二法。余术不复言者，从此可知。一 亩之田，广十五步，从而疏之，令为十五行，则每行广一步而从十六步。又横而 截之，令为十六行，则每行广一步而从十五步。此即从疏横截之步，各自为方， 凡有二百四十步。一亩之地，步数正同。以此言之，则广从相乘得积步，验矣。二百四十步者，亩法也；百亩者，顷法也。故以除之，即得。〕 今有田广一里，从一里。问为田几何？答曰：三顷七十五亩。又有田广二里，从三里。问为田几何？答曰：二十二顷五十亩。里田术曰：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。〔按：此术广从里数相乘得积里。方里之中有三顷七十五亩，故以乘之，即 得亩数也。〕 今有十八分之十二，问约之得几何？答曰：三分之二。又有九十一分之四十九，问约之得几何？答曰：十三分之七。○约分 〔按：约分者，物之数量，不可悉全，必以分言之；分之为数，繁则难用。设有四分之二者，繁而言之，亦可为八分之四；约而言之，则二分之一也，虽则 异辞，至于为数，亦同归尔。法实相推，动有参差，故为术者先治诸分。〕 术曰：可半者半之；不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损， 求其等也。以等数约之。〔等数约之，即除也。其所以相减者，皆等数之重叠，故以等数约之。〕 今有三分之一，五分之二，问合之得几何？答曰：十五分之十一。又有三分之二，七分之四，九分之五，问合之得几何？答曰：得一、六十三 分之五十。又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四，问合之得几何？答曰：得 二、六十分之四十三。○合分 〔淳风等按：合分知，数非一端，分无定准，诸分子杂互，群母参差。粗细 既殊，理难从一，故齐其众分，同其群母，令可相并，故曰合分。〕 术曰：母互乘子，并以为实。母相乘为法。〔母互乘子。约而言之者，其分粗；繁而言之者，其分细。虽则粗细有殊， 然其实一也。众分错杂，非细不会。乘而散之，所以通之。通之则可并也。凡母 互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同，共一母也；齐者，子与母齐， 势不可失本数也。方以类聚，物以群分。数同类者无远；数异类者无近。远而通 体知，虽异位而相从也；近而殊形知，虽同列而相违也。然则齐同之术要矣：错 综度数，动之斯谐，其犹佩觿解结，无往而不理焉。乘以散之，约以聚之，齐同 以通之，此其算之纲纪乎？其一术者，可令母除为率，率乘子为齐。〕 实如法而一。不满法者，以法命之。〔今欲求其实，故齐其子，又同其母，令如母而一。其余以等数约之，即得 知，所谓同法为母，实余为子，皆从此例。〕 其母同者，直相从之。今有九分之八，减其五分之一，问余几何？答曰：四十五分之三十一。又有四分之三，减其三分之一，问余几何？答曰：十二分之五。○减分 〔淳风等按：诸分子、母数各不同，以少减多，欲知余几，减余为实，故曰 减分。〕 术曰：母互乘子，以少减多，余为实。母相乘为法。实如法而一。〔母互乘子知，以齐其子也。以少减多知，齐故可相减也。母相乘为法者， 同其母也。母同子齐，故如母而一，即得。〕 今有八分之五，二十五分之十六，问孰多？多几何？答曰：二十五分之十六 多，多二百分之三。又有九分之八，七分之六，问孰多？多几何？答曰：九分之八多，多六十三 分之二。又有二十一分之八，五十分之十七，问孰多？多几何？答曰：二十一分之八 多，多一千五十分之四十三。○课分 〔淳风等按：分各异名，理不齐一，较其相近之数，故曰课分也。〕 术曰：母互乘子，以少减多，余为实。母相乘为法。实如法而一，即相多也。〔淳风等按：此术母互乘子，以少分减多分，与减分义同；惟相多之数，意 与减分有异：减分知，求其余数有几；课分知，以其余数相多也。〕 今有三分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？答曰：减 四分之三者二，三分之二者一，并，以益三分之一，而各平于十二分之七。又有二分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？答曰：减 三分之二者一，四分之三者四、并，以益二分之一，而各平于三十六分之二十三。○平分 〔淳风等按：平分知，诸分参差，欲令齐等，减彼之多，增此之少，故曰平 分也。〕 术曰：母互乘子， 〔齐其子也。〕 副并为平实。〔淳风等按：母互乘子，副并为平实知，定此平实主限，众子所当损益知， 限为平。〕 母相乘为法。〔母相乘为法知，亦齐其子，又同其母。〕 以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法。〔此当副置列数除平实，若然则重有分，故反以列数乘同齐。淳风等按：问云所平之分多少不定，或三或二，列位无常。平三知，置位三 重；平二知，置位二重。凡此之例，一准平分不可豫定多少，故直云列数而已。〕 以平实减列实，余，约之为所减。并所减以益于少。以法命平实，各得其平。今有七人，分八钱三分钱之一。问人得几何？答曰：人得一钱二十一分钱之 四。又有三人三分人之一，分六钱三分钱之一、四分钱之三。问人得几何？答曰： 人得二钱八分钱之一。○经分 〔淳风等按：经分者，自合分已下，皆与诸分相齐，此乃直求一人之分。以 人数分所分，故曰经分也。〕 术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之。〔母互乘子知，齐其子；母相乘者，同其母。以母通之者，分母乘全内子。乘，散全则为积分，积分则与子相通，故可令相从。凡数相与者谓之率。率知， 自相与通。有分则可散，分重叠则约也；等除法实，相与率也。故散分者，必令 两分母相乘法实也。〕 重有分者同而通之。〔又以法分母乘实，实分母乘法。此谓法、实俱有分，故令分母各乘全分内 子，又令分母互乘上下。〕 今有田广七分步之四，从五分步之三，问为田几何？答曰：三十五分步之十 二。又有田广九分步之七，从十一分步之九，问为田几何？答曰：十一分步之七。又有田广五分步之四，从九分步之五，问为田几何？答曰：九分步之四。○乘分 〔淳风等按：乘分者，分母相乘为法，子相乘为实，故曰乘分。〕 术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。〔凡实不满法者而有母、子之名。若有分，以乘其实而长之，则亦满法，乃 为全耳。又以子有所乘，故母当报除。报除者，实如法而一也。今子相乘则母各 当报除，因令分母相乘而连除也。此田有广从，难以广谕。设有问者曰：马二十 匹，直金十二斤。今卖马二十匹，三十五人分之，人得几何？答曰：三十五分斤 之十二。其为之也，当如经分术，以十二斤金为实，三十五人为法。设更言马五 匹，直金三斤。今卖马四匹，七人分之，人得几何？答曰：人得三十五分斤之十 二。其为之也，当齐其金、人之数，皆合初问入于经分矣。然则分子相乘为实者， 犹齐其金也；母相乘为法者，犹齐其人也。同其母为二十，马无事于同，但欲求 齐而已。又，马五匹，直金三斤，完全之率；分而言之，则为一匹直金五分斤之 三。七人卖四马，一人卖七分马之四。金与人交 互相生。所从言之异，而计数则 三术同归也。〕 今有田广三步三分步之一，从五步五分步之二，问为田几何？答曰：十八步。又有田广七步四分步之三，从十五步九分步之五，问为田几何？答曰：一百 二十步九分步之五。又有田广十八步七分步之五，从二十三步十一分步之六，问为田几何？答曰： 一亩二百步十一分步之七。○大广田 〔淳风等按：大广田知，初术直有全步而无余分；次术空有余分而无全步； 此术先见全步，复有余分，可以广兼三术，故曰大广。〕 术曰：分母各乘其全，分子从之， 〔分母各乘其全，分子从之者，通全步内分子。如此则母、子皆为实矣。〕 相乘为实。分母相乘为法。〔犹乘分也。〕 实如法而一。〔今为术广从俱有分，当各自通其分。命母入者，还须出之，故令分母相乘 为法而连除之。〕 今有圭田广十二步，正从二十一步，问为田几何？答曰：一百二十六步。又有圭田广五步二分步之一，从八步三分步之二，问为田几何？答曰：二十 三步六分步之五。术曰：半广以乘正从。〔半广知，以盈补虚为直田也。亦可半正从以乘广。按：半广乘从，以取中 平之数，故广从相乘为积步。亩法除之，即得也。〕 今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步。问为田几何？ 答曰：九亩一百四十四步。又有邪田，正广六十五步，一畔从一百步，一畔从七十二步。问为田几何？ 答曰：二十三亩七十步。术曰：并两斜而半之，以乘正从若广。又可半正从若广，以乘并。亩法而一。〔并而半之者，以盈补虚也。〕 今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正从三十步，问为田几何？答曰：一亩 一百三十五步。又有箕田，舌广一百一十七步，踵广五十步，正从一百三十五步，问为田几 何？答曰：四十六亩二百三十二步半。术曰：并踵、舌而半之，以乘正从。亩法而一。〔中分箕田则为两邪田，故其术相似。又可并踵、舌，半正从，以乘之。〕 今有圆田，周三十步，径十步。〔淳风等按：术意以周三径一为率，周三十步，合径十步。今依密率，合径 九步十一分步之六。〕 问为田几何？答曰：七十五步。〔此于徽术，当为田七十一步一百五十七分步之一百三。淳风等按：依密率，为田七十一步二十三分步之一十三。〕 又有圆田，周一百八十一步，径六十步三分步之一。〔淳风等按：周三径一，周一百八十一步，径六十步三分步之一。依密率， 径五十七步二十二分步之一十三。〕 问为田几何？答曰：十一亩九十步十二分步之一。〔此于徽术，当为田十亩二百八步三百一十四分步之一百十三。淳风等按：依密率，当为田十亩二百五步八十八分步之八十七。〕 术曰：半周半径相乘得积步。〔按：半周为从，半径为广，故广从相乘为积步也。假令圆径二尺，圆中容 六觚之一面，与圆径之半，其数均等。合径率一而外周率三也。又按：为图，以六觚之一面乘一弧半径，三之，得十二觚之幂。若又割之， 次以十二觚之一面乘一弧之半径，六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥 少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。觚面之外，又有余径。以面乘余径，则幂出觚表。若夫觚之细者，与圆合体，则表无余径。表无余径， 则幂不外出矣。以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。此一周、径，谓至然之数，非周三径一之率也。周三者，从其六觚之环耳。以推 圆规多少之觉，乃弓之与弦也。然世传此法，莫肯精核；学者踵古，习 其谬失。不有明据，辩之斯难。凡物类形象，不圆则方。方圆之率，诚著于近，则虽远可 知也。由此言之，其用博矣。谨按图验，更造密率。恐空设法，数昧而难譬，故 置诸检括，谨详其记注焉。割六觚以为十二觚术曰：置圆径二尺，半之为一尺，即圆里觚之面也。令 半径一尺为弦，半面五寸为句，为之求股。以句幂二十五寸减弦幂，余七十五寸， 开方除之，下至秒、忽。又一退法，求其微数。微数无名知以为分子，以十为分 母，约作五分忽之二。故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二。以减半径，余 一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三，谓之小句。觚之半面又谓之小股。为之 求弦。其幂二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽，余分弃之。开方除之，即十二觚之一面也。割十二觚以为二十四觚术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置上 小弦幂，四而一，得六百六十九亿八千七百二十九万八千三百六十一忽，余分弃之， 即句幂也。以减弦幂，其余开方除之，得股九寸六分五厘九毫二秒五忽五分忽之 四。以减半径，余三分四厘七秒四忽五分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小 股。为之求小弦。其幂六百八十一亿四千八百三十四万九千四百六十六忽，余分 弃之。开方除之，即二十四觚之一面也。割二十四觚以为四十八觚术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置上 小弦幕，四而一，得一百七十亿三千七百八万七千三百六十六忽，余分弃之，即 句幂也。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸九分一厘四毫四秒四忽五分忽之 四。以减半径，余八厘五毫五秒五忽五分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小 股。为之求小弦。其幂一百七十一亿一千二十七万八千八百一十三忽，余分弃之。开方除之，得小弦一寸三分八毫六忽，余分弃之，即四十八觚之一面。以半径一 尺乘之，又以二十四乘之，得幂三万一千三百九十三亿四千四百万忽。以百亿除 之，得幂三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四，即九十六觚之幂也。割四十八觚以为九十六觚术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置次 上弦幂，四而一，得四十二亿七千七百五十六万九千七百三忽，余分弃之，即句 幂也。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸九分七厘八毫五秒八忽十分忽之九。以减半径，余二厘一毫四秒一忽十分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小股。为之求小弦。其幂四十二亿八千二百一十五万四千一十二忽，余分弃之。开方除 之，得小弦六分五厘四毫三秒八忽，余分弃之，即九十六觚之一面。以半径一尺 乘之，又以四十八乘之，得幂三万一千四百一十亿二千四百万忽，以百亿除之， 得幂三百一十四寸六百二十五分寸之六十四，即一百九十二觚之幂也。以九十六 觚之幂减之，余六百二十五分寸之一百五，谓之差幂。倍之，为分寸之二百一十， 即九十六觚之外弧田九十六所，谓以弦乘矢之凡幂也。加此幂于九十六觚之幂， 得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九，则出圆之表矣。故还就一百九十 二觚之全幂三百一十四寸以为圆幂之定率而弃其余分。以半径一尺除圆幂，倍之， 得六尺二寸八分，即周数。令径自乘为方幂四百寸，与圆幂相折，圆幂得一百五 十七为率，方幂得二百为率。方幂二百其中容圆幂一百五十七也。圆率犹为微少。案：弧田图令方中容圆，圆中容方，内方合外方之半。然则圆幂一百五十七，其 中容方幂一百也。又令径二尺与周六尺二寸八分相约，周得一百五十七，径得五 十，则其相与之率也。周率犹为微少也。晋武库中汉时王莽作铜斛，其铭曰：律 嘉量斛，内方尺而圆其外，庣旁九厘五毫，幂一百六十二寸，深一尺，积一千六 百二十寸，容十斗。以此术求之，得幂一百六十一寸有奇，其数相近矣。此术微 少。而觚差幂六百二十五分寸之一百五。以一百九十二觚之幂为率消息，当取此 分寸之三十六，以增于一百九十二觚之幂，以为圆幂，三百一十四寸二十五分寸 之四。置径自乘之方幂四百寸，令与圆幂通相约，圆幂三千九百二十七，方幂得 五千，是为率。方幂五千中容圆幂三千九百二十七；圆幂三千九百二十七中容方 幂二千五百也。以半径一尺除圆幂三百一十四寸二十五分寸之四，倍之，得六尺 二寸八分二十五分分之八，即周数也。全径二尺与周数通相约，径得一千二百五 十，周得三千九百二十七，即其相与之率。若此者，盖尽其纤微矣。举而用之， 上法仍约耳。当求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之幂，而裁其微分， 数亦宜然，重其验耳。淳风等案：旧术求圆，皆以周三径一为率。若用之求圆周之数，则周少径多。用之求其六觚之田，乃与此率合会耳。何则？假令六觚之田，觚间各一尺为面， 自然从角至角，其径二尺可知。此则周六径二与周三径一已合。恐此犹为难晓， 今更引物为喻。设令刻物作圭形者六枚，枚别三面，皆长一尺。攒此六物，悉使 锐头向里，则成六觚之周，角径亦皆一尺。更从觚角外畔，围绕为规，则六觚之 径尽达规矣。当面径短，不至外规。若以径言之，则为规六尺，径二尺，面径皆 一尺。面径股不至外畔，定无二尺可知。故周三径一之率于圆周乃是径多周少。径一周三，理非精密。盖术从简要，举大纲，略而言之。刘徽特以为疏，遂改张 其率。但周、径相乘，数难契合。徽虽出斯二法，终不能究其纤毫也。祖冲之以 其不精，就中更推其数。今者修撰，捃摭诸家，考其是非，冲之为密。故显之于 徽术之下，冀学者知所裁焉。〕 又术曰：周、径相乘，四而一。〔此周与上觚同耳。周、径相乘，各当一半。而今周、径两全，故两母相乘 为四，以报除之。于徽术，以五十乘周，一百五十七而一，即径也。以一百五十 七乘径，五十而一，即周也。新术径率犹当微少。据周以求径，则失之长；据径 以求周，则失之短。诸据见径以求幂者，皆失之于微少；据周以求幂者，皆失之 于微多。淳风等按：依密率，以七乘周，二十二而一，即径；以二十二乘径，七而一， 即周。依术求之，即得。〕 又术曰：径自相乘，三之，四而一。〔按：圆径自乘为外方，三之，四而一者，是为圆居外方四分之三也。若令 六觚之一面乘半径，其幂即外方四分之一也。因而三之，即亦居外方四分之三也。是为圆里十二觚之幂耳。取以为圆，失之于微少。于徽新术，当径自乘，又以一 百五十七乘之，二百而一。淳风等按：密率，令径自乘，以十一乘之，十四而一，即圆幂也。〕 又术曰：周自相乘，十二而一。〔六觚之周，其于圆径，三与一也。故六觚之周自相乘为幂，若圆径自乘者 九方。九方凡为十二觚者十有二，故曰十二而一，即十二觚之幂也。今此令周自 乘，非但若为圆径自乘者九方而已。然则十二而一，所得又非十二觚之幂也。若 欲以为圆幂，失之于多矣。以六觚之周，十二而一可也。于徽新术，直令圆周自 乘，又以二十五乘之，三百一十四而一，得圆幂。其率：二十五者，周幂也；三 百一十四者，周自乘之幂也。置周数六尺二寸八分，令自乘，得幂三十九万四千 三百八十四分。又置圆幂三万一千四百分。皆以一千二百五十六约之，得此率。淳风等按：方面自乘即得其积。圆周求其幂，假率乃通。但此术所求用三、 一为率。圆田正法，半周及半径以相乘。今乃用全周自乘，故须以十二为母。何 者？据全周而求半周，则须以二为法。就全周而求半径，复假六以除之。是二、 六相乘，除周自乘之数。依密率，以七乘之，八十八而一。〕 今有宛田，下周三十步，径十六步。问为田几何？答曰：一百二十步。又有宛田，下周九十九步，径五十一步。问为田几何？答曰：五亩六十二步 四分步之一。术曰：以径乘周，四而一。〔此术不验，故推方锥以见其形。假令方锥下方六尺，高四尺。四尺为股， 下方之半三尺为句。正面邪为弦，弦五尺也。令句弦相乘，四因之，得六十尺， 即方锥四面见者之幂。若令其中容圆锥，圆锥见幂与方锥见幂，其率犹方幂之与 圆幂也。按：方锥下六尺，则方周二十四尺。以五尺乘而半之，则亦锥之见幂。故求圆锥之数，折径以乘下周之半，即圆锥之幂也。今宛田上径圆穹，而与圆锥 同术，则幂失之于少矣。然其术难用，故略举大较，施之大广田也。求圆锥之幂， 犹求圆田之幂也。今用两全相乘，故以四为法，除之，亦如圆田矣。开立圆术说 圆方诸率甚备，可以验此。〕 今有弧田，弦二十步，矢十五步。问为田几何？答曰：一亩九十七步半。又有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七。问为田几何？答 曰：二亩一百五十五步八十一分步之五十六。术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。〔方中之圆，圆里十二觚之幂，合外方之幂四分之三也。中方合外方之半， 则朱青合外方四分之一也。弧田，半圆之幂也。故依半圆之体而为之术。以弦乘 矢而半之，则为黄幂，矢自乘而半之，则为二青幂。青、黄相连为弧体，弧体法 当应规。今觚面不至外畔，失之于少矣。圆田旧术以周三径一为率，俱得十二觚 之幂，亦失之于少也，与此相似。指验半圆之幂耳。若不满半圆者，益复疏阔。宜句股锯圆材之术，以弧弦为锯道长，以矢为锯深，而求其径。既知圆径，则弧 可割分也。割之者，半弧田之弦以为股，其矢为句，为之求弦，即小弧之弦也。以半小弧之弦为句，半圆径为弦，为之求股。以减半径，其余即小弦之矢也。割 之又割，使至极细。但举弦、矢相乘之数，则必近密率矣。然于算数差繁，必欲 有所寻究也。若但度田，取其大数，旧术为约耳。〕 今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步。〔此欲令与周三径一之率相应，故言径五步也。据中、外周，以徽术言之， 当径四步一百五十七分步之一百二十二也。淳风等按：依密率，合径四步二十二分步之十七。〕 问为田几何？答曰：二亩五十五步。〔于徽术，当为田二亩三十一步一百五十七分步之二十三。淳风等按：依密率，为田二亩三十步二十二分步之十五。〕 术曰：并中、外周而半之，以径乘之，为积步。〔此田截而中之周则为长。并而半之知，亦以盈补虚也。此可令中、外周各 自为圆田，以中圆减外圆，余则环实也。〕 又有环田，中周六十二步四分步之三，外周一百一十三步二分步之一，径十 二步三分步之二。〔此田环而不通匝，故径十二步三分步之二。若据上周求径者，此径失之于 多，过周三径一之率，盖为疏矣。于徽术，当径八步六百二十八分步之五十一。淳风等按：依周三径一考之，合径八步二十四分步之一十一。依密率，合径 八步一百七十六分步之一十三。〕 问为田几何？答曰：四亩一百五十六步四分步之一。〔于徽术，当为田二亩二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也。依周 三径一，为田三亩二十五步六十四分步之二十五。淳风等按：密率，为田二亩二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也。〕 术曰：置中、外周步数，分母子各居其下。母互乘子，通全步内分子。以中 周减外周，余半之，以益中周。径亦通分内子，以乘周为实。分母相乘为法。除 之为积步。余，积步之分。以亩法除之，即亩数也。〔按：此术，并中、外周步数于上，分母子于下，母互乘子者，为中外周俱 有余分，故以互乘齐其子，母相乘同其母。子齐母同，故通全步，内分子。半之 知，以盈补虚，得中平之周。周则为从，径则为广，故广从相乘而得其积。既合 分母，还须分母出之。故令周、径分母相乘而连除之，即得积步。不尽，以等数 除之而命分。以亩法除积步，得亩数也。〕