对数平均数：不等式链有个新成员
什么是对数平均数呢？
对数平均数，
你听说过么？
是不是想当然的，
就与几何平均数、算术平均数，
建立了联想呢？
确实，
但是又与想象的不太一样。
因为印象中，
如果是对数平均数，
感觉应该是下面这个样子才算科学：
所以，
这样子的另类定义，
一定是有着它自己独特的想法了。
对数平均数不等式又是什么？
对数平均数不等式？
会不会与以前的基本不等式有什么关系呢？
就是那个俗称的“均值不等式”的，
里面都是平均数……
算术平均数、几何平均数，
调和平均数、平方平均数。
其实，
对数平均数不等式，
倒真的是与它们有些关系。
我觉着，
是不是因为嫌弃，
几何与算术平均数，
之间的距离太大了点？
怎么理解对数平均不等式？
其实，
我们也可以从几何图形上，
去理解这三个平均数之间的关系。
不过，
就要借用下定积分的概念了。
基本不等式链有了新成员。
有了这个对数平均数，
原来的那个基本不等式链，
自然就有了拓展式了：
都没有写等号，
主要是因为对数平均数的加入，
a是不能等于b的。
其实这个链，
加了一个对数平均数，
虽然成员丰富了，
但感觉却是挺牵强的。
毕竟，
形式上没有以前和谐、好看了。
所以，
这个对数平均数，
应该是可以用来干点大事的吧……
因为，
对数平均数不等式中，
出现了几何与算术平均数，
理想中对数平均数如果是一个定值呢？
是不是就会出现下面这样子的不等式了：
那是不是可以想当然地，
将它与极值点偏移问题联系在一起了。
曾经写过几篇关于极值点偏移的推文，
应该还算是清楚的。
高考永远是风向标，
自从高考中出现过，
这类问题便成为众多有心者，
深入研究的对象了。
所以，
极值点偏移问题，
现在早已不成为问题。
有心的读者，
也可以参考下素言的这两篇文章
而今天的这篇推文，
却是因为最近一次安徽的联考，
小题出现了极值点偏移，
而且是文科！
就让我深思了一下，
觉得是一个很好的引子，
这才有了今天的话题。
这个例题是常见的，
极值点偏移题。
也有着很多的方法，
倒是可以用以前极值点偏移的方法试一试。
记得：比值代换、构造函数等，
都是很好理解且易操作的方法的。
但是不能不说的是，
这里对数平均不等式的使用，
是不是更加简洁舒心呢？
可是，
很多时候也有事与愿违的。
毕竟，
利用平均数不等式，
证明这种和、积不等式问题，
方向是千万不能弄错的。
也就是说，
最直观的也应该是，
x1+x2>a或者x1·x2<a的形式吧！
可是，
万一出现了x1+x2<a或是x1·x2>a，
方向相反了呢？
还能不能用极值点偏移的方法？
还能不能用对数平均不等式？
这也是个值得考虑的问题。
于是，
也便有了下面的一些例题。
解法中的两式相加，
也只是为了得出结论中的两根之积。
最重要的环节，
应该还是两式相减，
构造了一个对数平均数的结构了。
其实，
这个题的解法，
还是能够让人有一些体会的。
如果要将有理式与对数式联接起来，
看来只要不是等价变形，
对数平均数不等式，
也会是一个很好的切入点的。