倍半角处理策略，依山势建城堡，含例题分析
（更新了最后一题的勘误）
看到倍半角不免想到角平分线，之前我也做过关于角平分线的处理策略。其中主要是见到角平分线的条件，和问题中出现角平分的情况下的处理策略。
（点击查看：角平分线的处理策略（初三复习））
还有角含半角模型也是有倍半关系的，不过它重在一个“含”。还有圆周角圆心角的倍半关系。这都不是今天主要讨论的内容。但是可以和这两个结合（目前没见过，不过应该可以结合。）
今天的倍半角我特地的强调了，是非角平分线产生的倍半角关系。虽然产生不是因为角平分线，但是在处理的时候也是可以用角平分线的。非角平分线产生的倍半角关系，我主要分为以下几类：
从出现的地方，可以分为条件中出现（或隐含），问题中出现（或隐含）。
从处理构造方法上分为：由倍造半和由半造倍
构造的四中方法：
01利用角平分线由倍造半：（都是产生角相等是核心）
如果角A=2角B还会产生等腰
02利用翻折由半造倍：
如果角A=2角B还会产生等腰
03利用造等腰由倍造半：
如果角A=2角B还会产生等腰
04利用造等腰由半造倍：
如果角A=2角B还会产生等腰
接下来看几个例子：
例题1：（条件中有倍半角，原地构造倍半无需转化）：
相对比较简单：按照刚才的四个方法都可以做：
其实就是求OA的长度即可。
01角平分线由倍造半：（结合相似）
02翻折由半造倍：（结合相似，勾股）
03构造等腰由倍造半（结合相似）
04构造等腰由半造倍（结合相似）
例题2：（条件中含倍半角，需要先转化再进行倍半构造）
这也是个老题了，要先倍长中线一下，再进行倍半构造（我这用的是造等腰由倍造半）。
（用到了中点策略，点击查看：中点的解题策略）
所以有时候做一道题有时候需要多种策略结合。
例题3：（条件中含倍半角，需要先转化再进行倍半构造）
其实涉及到了旋转的策略（点击查看：旋转策略，从简单到不简单）
也可一看做先转化到角EAB然后翻折由半造倍。这题两种策略相通，想到一种即可解决了。
变化一下，其实只要高和底不变，BD不变
当H在底边运动时候，D的轨迹为圆弧
例题4：（条件中含倍半角，需要先转化再进行倍半构造）
跟上一题一样的，只不过这次是已知AB长度（相当于上题的BD）和底边BC求高。
例题5：（条件中含倍半角，需要先转化再进行倍半构造）
这道题比刚才稍微麻烦一点，要先处理好DM=EM。看下图
做平行线可知DM=EM也就是DB=CE ，光知道这个感觉还是不知道怎么做辅助线。其实不管什么几何题做辅助线的时候需要注意辅助线不能（或者基本很少）凭空画出，即便是构造的辅助线也是根据已知点，和已知的点衍生出的点（或者某个模型）去连线，从而形成辅助线，这就是我题目中说到的要依山势建城堡。
我做的时候想的是要么把长线段折半，要么把短线的翻倍，又要结合BD=CE，也就是可以把CE翻倍（也得依势而建），取CK=CE连接NK。就翻倍了。正好利用对称。角AKN=角ADN=2角E（无心插柳柳成荫，这个倍半角就用上了），2CE=KE=NK=DN，所以得证。（也可以看做构造等腰由半造倍）
例题6：（问题结论中隐含倍半角，先发现再引导思路）.
这个题大家看了会说：跟倍半角有啥么关系？我也是做完之后才发现的，这题第三问问的角度。根据经验，没有太多角度条件下的算角度，一定是特殊角度。一开始我也没什么思路，我用量角器大概量了一下图中的角是24.5度。（图显然不标准）。这个度数离30度比较近也离22.5度更近。我猜测是22.5度，而且上方就是一个45度在那里，只要倍造半构造等腰就会出现45的一半，也就是三角形CEF为等腰三角形。再结合第二问的三角形EDI和ECF全等，即可得到三角形ECF为等腰三角形，猜想就被证实了。如下图：
例题7：（条件含倍半角，非构造解决）
（勘误：以下为错解）
这题虽然有倍半关系但是我用设X的方法算。（怎么构造还真没想到）
以下为反思：
第一次发的时候匆忙了，犯了低级错误，感谢多位群友的提醒。
角ADE导错了，应该是5x.这样一来，导角是求不出的，而且方向也有问题。我已开始默认以为ADE是直角，其实不是，这道题好像是编的不太好（特别鸣谢强哥的提醒）。经过群内传奇人物强哥（熟悉的老师应该知道是谁）的提醒，我自己又拿软件验证了一下发现确实有问题，角ADE不是垂直也就用不了勾股。
如下图，先画出BE，再画出动点A，根据角度，A的位置即可确定C的位置。在AC上分别画出满足角平分的点D和满足CD=12 的点D，A在运动时候D和D重合即可同时满足两个条件，这样也就满足所有条件了。由动图可以看出，重合位置是唯一的。
经软件计算得出重合时候EC的长度。（我是不会做了，大家有更好更妙的方法还请赐教）
（看模型点击：几何模型解题，体系化模型系列汇总（+精））