分享一道有关圆的证明题，求证圆的切线及线段相等，关键是拆分角

例题：（初中数学综合题）如图，已知AB为⊙O的一条弦，PB切⊙O于B，PA=PB，直线PO交AB于E，交⊙O于点C．

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）若CD∥PA，CD交直线AB于点D，交⊙O于另一点F．求证：AD=CD．

知识回顾

平行线的性质： 1.两直线平行,同位角相等。 2.两直线平行,内错角相等。 3.两直线平行,同旁内角互补。

垂直平分线的判定：到一条线段两个端点的距离相等的点，在线段的垂直平分线上。

分析：（1）要证明切线肯定会想到连接OA，OB．由于PB切⊙O于B，只要证明△PAO≌△PBO，就可推出∠PAO=∠PBO=90°，即可解决问题．

（2）连接AC，要证明AD=CD，只要想办法证明∠DAC=∠DCA即可．而∠DAC=∠EAO+∠OAC，∠DCA=∠DCE+∠OCE，我们利用已知条件就可以分别得出两个小角相等，即可解决问题。

请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面，我们就按照以上思路来解答此题吧！

解答：（以下过程可以部分调整）

（1）证明：连接OA，OB．

∵PB是⊙O的切线，

∴PB⊥OB，

∴∠PBO=90°，

在△PAO和△PBO中，

∵PA=PB，PO=PO，OA=OB，

∴△PAO≌△PBO（SSS），

∴∠PAO=∠PBO=90°，

∴PA⊥OA，

∴PA是⊙O的切线．

（2）证明：连接AC．

∵PA=PB，OA=OB，

（线段垂直平分线的判定）

∴OP⊥AB，

∴∠AEC=90°，

∵∠PAO=90°，

∴∠EAO+∠AOE=90°，∠AOE+∠APO=90°，

∴∠EAO=∠APO，

∵AP∥CD，

∴∠APO=∠DCE，

∴∠EAO=∠DCE，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

（运用等式性质）

∴∠EAO+∠OAC=∠DCE+∠OCE，

即∠DAC=∠DCA，

∴DA=DC．

（完毕）

这道题属于综合题，考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是将一个大角分成两个角之和的形式解决问题。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。