一课研究之《写三位数乘两位数的积最大算式》教学实践与思考

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《写三位数乘两位数的积最大算式》

教学实践与思考

01 教学内容

人教版教材2011版的四年级上册51页第12题：

02    题目分析   

这题是人教版教材四年级上册内容中学习三位数乘两位数笔算之后的练习题。由于学生刚刚学习三位数乘两位数的计算法则，正需要熟练掌握计算方法和算理，提高学生的正确率。教材将这道综合题安排这里，正是希望学生在写乘积最大算式的过程中进行不断的计算练习，提升计算能力。

根据以往教学经验，这题的错误率非常高，学生对这题掌握程度一直非常差。我们年级组备课时也特别提出，对这题要注意方法上的引导，需要单独花时间来解决。虽然我们的学生在三年级时接触过简单的排列组合，知道具体形象的事件可以通过列举等方法得出结论，但这题第一个问题要将5个数字进行排列，且组数时还要考虑0的位置，如果要把这些组合的算式写完，这确实已经超过了学生的认知水平。接着的第二个问题，要求孩子要写出乘积最大的三位数乘两位数的算式。用这五个数字组成的算式很多，许多算式相似度非常高，学生很容易混淆。由于三位数乘两位数的笔算是学生的新学知识，且这些算式的计算结果比较大，想要准确找到乘积最大的算式，这对孩子们来说确实有难度。

03    教学设想

结合前面分析，我们认为在课堂可以尝试结合这道题的解题分析，通过任务驱动，让学生从被动计算练习变为有目的的主动去计算，让孩子在不断验证、探索规律方法的过程中自然进行计算练习，提升学生的计算能力。同时结合这题的解题思路分析，引导学生学会理性思考并用正确的方法进行推算，提升学生的推理能力和解决问题能力，感受数学的趣味性，提升学习数学的兴趣。

04     前测练习 

学生是存在个体差异的，对数学学习的学前经验不同、认知方式不同、理解水平不同，就会造成学习过程和结果的很大不同。这题第一问写算式，内容较多，笔者希望通过前测练习，对学生解决这题的水平层次进行分析，掌握四年级学生对这题解题方法和结果上表现的差异性，明白学生的问题所在，这样可以有针对性的设计课堂教学环节，从而有效的进行课堂实践。

(1)  设计前测练习 

因为这题需要学生学习过三位数乘两位数的相关知识为基础的，所以就以学校四年级2个班的学生为测试对像，设计如下前测练习：

这题设计与课本题目有所不同，把原题中的“0”改成了1，这主要是因为在进行竖式计算时，未尾的零是不用参与计算的，用0的话不能有效的暴露学生的思考过程。改为“1”后学生要考虑的问题就会要求精准很多，这样的材料更能反应学生的思考过程，学生算式的表现形式也更多样，就能更好的了解学生对这道题在解决过程中的能力差别，了解学生解决这类题的方法类型。

在没有任何提示的情况下，在进行笔算乘法计算教学之后，将此前测练习让两个班的80名孩子去完成。

   (2)  分析前测结果  

测试后，根据学生答案，主要依据第二题写乘积最大的算式答题情况，给学生划分了几个不同能力层次。根据学生的答题情况，结合每一个水平层次，找有代表的学生进行访谈，了解他们的真实想法，分析基本原因，具体情况如下表：

根据学生的答题及从访谈中了解的学生思考过程，我们共划分了五个水平层次，水平1的孩子相对能力最差，而水平五的孩子只有5个，这基本是家长提前教的，孩子说得也基本正确。虽然这部分学生已经基本掌握，但他们对方法的本质还是不太明白的。从分析中可知，水平一到水平三的学生占了大多数，这说明孩子们整体上对这类题基本是模糊的，这就需要我们从更基础的部分展开。学生解题出现的错误表现的能力水平层次也明显不同，最主要还是欠缺逻辑推理和估算的意识，同时计算能力也还有所不足。

因此，在教学实践中，我们应该注重数学模型的建构，重视估算能力的应用，强调计算能力的训练，从而引导孩子找到正确的解题方法，提高孩子分析问题能力和逻辑推理能力。

05    实践过程

数值运算本身是枯燥的，而小学生学习，练习运算最有效的内驱力是兴趣，是需要和解决问题相结合而展开教学的。因此这节课我们不纯粹以找到这题解题方法为主要目标的解决问题课，而是定位在计算练习课的基础上解决问题。具体教学过程如下展示：

（1） 组合算式   引发思考

这节课主要是对三位数乘两位数的计算进行复习 ，同时提升学生的逻辑推理能力。因为前测让学生写出用“1、2、3、4、5”组成三位数乘两位数的多个算式。由于留给孩子一定的时间，部分孩子会根据数的排列和组合，写出好多的算式。由于这题比课本的练习难度更大，而且前测学生第二题基本都是写错的，水平一到水平三的学生占了大多数，因此我们认为还是从以课本习题开始比较好，这样难度会下降一些。因为有前测练习作铺垫，学生对这类题已经有所了解，第一题基本有了解题的方法，理解起来相对也比较容易

师：同学们，如果让大家写用“0.2.3.4.5”组成三位数乘两位数的算式，你会写吗，请马上写几个？

师：刚才我看了，好多同学写了很多个了，我们请写最多的同学说一说你是怎么写的？

生：根据数的搭配组合，我先写1开头的，比如......

师：是的，根据数的组成很多算式，你知道一共可以写多少个吗？对，我们可以写出72个算式，大家来看一看：

师：这些算式都是三位数乘两位数的算式，也就是我们刚刚学习的算式，谁来说一说，怎样进行三位数乘两位数的计算，需要注意什么？

实践中通过72道算式的展示，让水平一的学生，明白这些算式可以这样组合，了解算式特点。由于搭配算式不是这节课的目标，这样教学切入比较快，在这72道算式的展示，也是有特别的设计，是根据估算结果来排列的，是为后面教学作铺垫。

（2） 引用估算  确定方向 

培养学生估算意识和数据分析能力是小学数学能力培养的重要目标，学生在解决数学问题时，需要具备估算意识，要有目的对数据进行分析，对算式进行思考。对于前测中水平一、水平二的学生，他们主要没有去估算，去分析，这就要学会利用估算去分析，明确大数相乘的积会比较大，小数相乘的积会比较小，从而针对水平一、二的学生进行有效引导，让他们学会分析。

师：这么多算式，如果我们想找出结果最大的算式，你觉得应该怎么办？

生：计算出结果

师：都计算出结果，那可要花点时间了，请看一看这些算式，想一想，哪些算式的乘积一定不会是最大的？为什么？（引导学生估算）

生：我发现，通过估算，第一列在算式都是6000多，第二例都是8000多的，第三例都是10000多的，第四例都是12000多的，第5例都是15000多的，第六例都是20000多的，所以前面几例都是不可能最大的？

师：通过估算，我们就能确定前面几例数的乘积一定不是最大的，那你有什么发现呢？

生：发现只有把最大的二个数字放在两个因数开头里，乘积才可能最大。

实践中让学生结合课件展示的72道三位数乘两位数的算式， 引导学生通过估算，把乘积一定不会最大的算式给找出来。这一问题的提出，让水平一到水平三的学生很快就有了思考的方向，这样学生很快就否定了“245X30”这一列乘积是6000多的算式。通过推理、分析，否定接下去几列算式的过程，这样让孩子们明白这类题解决的一个基本特征：最高位上的数应该是最大的两个数字。这可以有效的提高水平一、水平二的学生的解题水平，让孩子感受估算的重要性。

（3）融入计算  明确方法 

通过上面练习，确定两个因数最高位上数字的选择方法后，当然还可以通过估算，再否定一些算式。但这节课是计算练习课，我们要求让孩子对计算多加练习，在计算练习的基础上明确解题的方法，提高孩子的计算。因此让学生对课件展示的12道算式进行分组计算，特别让部分学生进行板演，这样带着任务落实计算练习 ，因为计算结果差距小，这更能体现计算精确的重要性。

师：通过前面的分析，积最大的只可能出现在第六例算式中，下面请看这例的12个算式，每小组计算2题，比一比哪组计算得最快？（让部分孩子上黑板板演）

生：分组计算

师：请大家看黑板上同学板演竖式，说说有什么不同？

师：说说每一组的答案，并展示在屏幕上。

师：看一看答案，思考，现在你觉得哪些算式的答案一定不会最大？

生：中间有零的第一例，因为都可以把零放后面去，结果一定会更大？

生：第三例答案明显小些，因为0放在了两位数的后面

师：确定两个因数最高位后，如果再选二个数字，现在你觉得应该选哪二个数呢？

生：余下数中最大的两个数字，这样结果会比较大。

师：大家一下把眼光聚集到了第二例上了，是这，这例的积明显比较大？我们来看看有什么特点：

师：先选5.4写在两个因数最高位，再选32写在二个因数的第二位，0放最后，这样的结果比较大。

因为有前面环节估算的铺垫和引导，学生根据答案，找到四个最接近的算式，并很快得到再选余下数中最大的二个数分别放在二个因数第二位的方法。通过这样的思考，学生明确写乘积最大算式时选择数字的顺序：最大的两个数分别放在两个因数的最高位，再从余下数中选择最大的二个数，分别放在两个因数的第二位，这样依次进行。通过计算验证，得出思考方法，这样学生在解决这类问题时就会变得更有序，更有目标。通过这样的教学，就能有效的解决了水平三学生的思考上的问题，让他们清晰自己思考上的不足，明确思考方法。

（4） 建立模型   整合方法   

数学思维的火花，总是在不断的思维碰撞中产生的。学生对上面的四个算式的结果进行比较，会明显的将它们分成二组，因为0在末尾不参与计算，这时继续引导学生进行推理：

师：根据结果，我们发现430X52和520x43的结果最大，你知道为什么吗？

师：展示三年级时学习积变化规律一课内容，展示：两个数的和不变，它们的差越小，乘积越大。

师：现在你知道为什么这个算式的乘积比较大了吗？

生：比较43x52和42X53，可以发现差分别是9和11，因为差越小，积越大，所以前面的算式乘积比较大。

师，你能举个例子来证明吗？

生：57X46  比56X47大，     53X68比58X63的积大

师，刚才同学说的例子对吗？请男生计算前面算式，女生计算后面算式，进行验证。

师：看来现在学的知识就是以三年级知识为基础的，所以大家一定要扎实学好每一个知识点。

孩子们对这个知识点，说不清楚，通过课件的复习 ，让孩子知道其实在三年级长方形面积单元中，我们就学习了当长和宽越接近时，面积越大的知识。后面又练习过一些和相等的两个数相乘习题，它们的差越小，积越大。通过引导，就慢慢会发现上面4个式子将三位数的个位0去掉，就是我们认识的和相等两个数相乘的计算模型，52与43更接近，它们相乘的积会更大。让学生明白写两个数乘积最大的算式的方法原来我们早已学过。明白这题的本质是什么？这对孩子掌握这类题解决方法是一个关键要素。

（5）改变数字   应用模型

数学模型的形成，需要多次的练习才能达成。学到现在，孩子们对这类题的解决模型已经有所掌握，在不知不觉中进行了多组的计算练习。这时将数字0变为前测的数字1再进行展示 。结合刚才的学习，让学生进行分析，通过云计算进行验证，在巩固解题方法的基础上再次进行计算练习。

师：如果我将0改为1，你认为现在5个数组合的三位数乘两位数的算式中，乘积最大的应该是哪个算式：，请写一写，想一想。

生：521X43      431X52

师：请通过计算，说明它们哪个的积更大？请想一想，这个最大结果算式的排列特点是怎样的？

生：通过计算，知道431X52的积更大，因为放在43后面的1去乘52积会比放在52后面的1去乘43更大。431-52的差会更小一些，所以积会更大。

引导学生列出两个易混淆的算式，通过观察和计算，让学生明白，先选择最大的5和4，接着选2和3两个数，应用两数差越小积越大的方法组成二位数乘两位数的算式，那最后面的1放在小的二位数后面，这样组成的三位数与两位数的差更小，积也会更大。当然也可以用与1相乘的积的大小来确定1的位置进行说明，最后得到结论：先选最大的二个数，再选余下最大的二个数，应用两数差越小积越大的方法，把第三大的数放在第二大的数后面，第四大的数放在第一大的数后面，最后一个数放在小的二位数后面，这样组成的三位数与两位数的差更小，积也会更大。对于这个解题方法，要让学生理解其中的意义 ，明白思考的顺序是关键，不需要过于强调方法叙述的完整性。

（六） 字母模型   巧妙解法

学生对这题的解题方法，由于每个人学习能力的差异，理解能力的不同，总是很难掌握。实践中多次练习也会发现，这样的算式写错的还是有不少。这方法的学习也不是这节课的主要目标，但对于这部分孩子来说，他们也非常辛苦，也希望能掌握这题的解题方法的。这时我们可能根据这题的模型特点，结合字母模型，把各数的排列巧妙的与笔画顺序结合起来，让孩子感受数学的乐趣。

师：同学们，刚才的方法大家掌握了吗？我们再进行练习一下，请写一写2.4.6.8.9和1.3.5.7.9这两组数，分别组合成三位数乘二位数乘积最大的算式。

师：展示学生算式：

师：谁来说说你的思考过程？

生：。。。

师：刚才我看到还有不少同学有错误，看来还是有点难。下面介绍字母解法，能更轻松的排好这个算式，想不想学？

师：课件展示“U”字解法（按字母写字顺序，结合前面学习的解题方法，待定最大的二个数，再写余下最大的小个数，最后一个数最后写）

师：谁来说一说，这字母解法和前面的学的方法有什么共同之处？

学生对前面学习方法的理解上比较难以掌握 ，这是因为很多思考过程都需要在头脑中进行，由于孩子还小，记忆容易重叠，因此容易写错。而我们借助字母模型，直观的将选择数据的顺序呈现出来，让孩子有位置模型可以借助，学生理解起来就容易多了。实践中学生也基本愿意接受这种数形结合的方法来解题，而前面说理的方法则不太愿意应用。

06    “我”的思考   

纵观整个教学实践过程，学生经历了多次的认知冲突与碰撞，经历了问题分析、计算练习、验证反思等过程，借助不断的推理，在解决写乘积最大的算式过程中有效的进行了计算的练习，建立了解决问题与计算应用之间的联系。这节课只是这题的一部份，还有乘法最小的算式，还有题中有相同数字的算式等，这都需要学生通过不断计算验证，通过这节课学习的方法去推理，去研究。

教材中像这样的习题还有很多，如何去教学这些学生感到熟悉但又不太容易解决的问题，需要我们每个教师去思考。我们课堂教学，必须以尊重学生已有经验为基础（起点），重视教材解读与重构（题组），重视拓展材料的设计（变式），重视启发诱导生成（方法），通过有层次、有结构题组的思考、尝试、实践、探究的活动。教师根据学生实际情况，有针对性的设计教学，利用学生已有的知识水平和经验，提高学生解决问题的能力，让学生在更高的层级感悟数学内在的价值，使学生的练习更有效。

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 数学小知识

       世   界  最   大  的  数

最大的数，从数学意义上讲是不存在的。但是有一个数。宇宙间任何一个量都未能超过它，这个数就是10的100次方，也叫“古戈尔”(gogul的译音)。

“古戈尔”到底有多大呢？目前世界上每秒运算10亿次的最快速的电子计算机，假定它从宇宙形成时（距今约200亿年）就开始运算，到今天，其运算总次数也不够“古戈尔”数。

“古戈尔”数在生活中是一个最大的数，但在数学世界中，它又是一个小数。为了能表示更大的数，数学家规定了“古戈布莱克斯”数。一个“古戈布莱克斯”有多大呢？那真是太大了，光是1后面的零就有一万亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿个呢！其实，“古戈布莱克斯”也不是世界上最大的数，不过，它确实算得上是“超级大数”了！

本期审核：周笑跃  龚婷婷