老汪

前不久我在法国读书时的老朋友老汪从新西兰回国访问时专程绕道来广州看我，我们已经26年没有见面了。来之前他在给我的电子信中说：We can resume the after-supperwalking and chatting——我们可以重新开始晚饭后的散步和聊天。

老汪是我刚到法国不久在巴黎六大数学系图书馆认识的。不久，我们都搬到了巴黎南郊的L'Hay-les-Roses的低租金公寓，我们住在同一栋楼的同一层，成了邻居。朝夕相处，很快成了好朋友。我们一起在公用厨房做饭，一起谈论读人民日报的读后感，晚饭后一起散步。记得有一次他来我房间，指着报纸上的一则某领导人批评张贤亮的消息说：“石破天惊！领导人竟然说张贤亮走得太远！”还没等我反应过来，他又雄辩地发问：“那么请问领导人，你准备走多远？”这是1986年的事了，想起来恍若隔世。

我们住处不远处有一个玫瑰公园，公园不是特别大，但非常漂亮，栽种了所有品种的玫瑰花，在法国是唯一的。现在想想我们的运气真是好，竟然就住在了这附近。这公园成了我们几乎每天都去散步的地方，有时候散步时我们会带上一本数学书，坐在公园的草地上讨论数学。有时候我们也会在公园的水泥乒乓球台上打乒乓球。

我们也曾在周六的下午徒步走到使馆教育处去看电影，沿着山边公路走，下面是长长的峡谷，山坡上有狭长的小公园，绿草如茵。

老汪在数学上给我的帮助的重要性，可能他自己都没有完全意识到。我的导师给我的第一个问题是把他关于布朗运动的泛函的振荡积分的一个估计推广到两参数布朗单。这里的关键问题是要求出一个积分算子的所有特征值。在单参数的情形，因为这个积分算子的逆算子是一个微分算子，所以可以通过解微分方程求得。但两参数的情形就不知其逆算子为何物了，因此我在很长一段时间内一筹莫展，于是干脆躺倒不干。老汪那时因为解决了他老师给的问题，也十分轻松。我们这两个极端那时都是穷极无聊，被他戏称为每天睡觉时间长达20小时。当然这是夸张了，但的确反映了我们两人那时无所事事的状态。我跟他讨论过我的问题，他也提供过一些偏微分方程里头求特征值的方法，但都是些抽象的结果，而我要的是具体的值，所以没什么用。有一天闲聊时，我又跟他说起了我的问题，他问了一句：这个算子的代数逆存在吗？我于是想证明其代数逆不存在，以此说明此问题不好解决，但就在此过程中我找到了方法，求出了全部特征值。老汪帮我核对了所有的计算，在我出发去向导师报告前，给我打气说：你解决这个问题的全部过程我都清楚，不会有问题。我于是信心满满地向导师做了报告，翻开了留学生涯的新篇章。

老汪的专业是偏微分方程。他十分欣赏Gilbarg与Trudinger的那本二阶椭圆方程的书,常常与我分享他的读书心得。他给我看Nirenberg-Gargliardo不等式的证明,感叹于其方法的简洁和巧妙；他给我看L_p完备性的证明。我所熟悉测度论的书上关于这个结论的证明似乎都是通过依测度Cauchy列一定有几乎处处收敛的子列的结果过渡,但这一结果本身的证明内涵我实际上并没有理解,也许是其思想淹没在繁琐的记号里了。但Gilbarg与Trudinger的书里的证明思想就十分清晰:当一个序列L_p收敛的速度足够快时,这个序列本身就是几乎处处收敛的。回过头再去看依测度收敛的证明，实际上其核心思想是一样的：找一个收敛得足够快的子列。这让我领略到了收敛速度的重要性，同时也让我认识到，或者是再认识到，在学习一个命题时，要对其证明理解得深些，再深些，也许隐藏在繁琐记号后面的思想都是简洁清晰的。

留学生活是相当寂寞的，尤其在那个中国很穷的年代，那种感受真是无法形容。这种情况下，朋友间的友情就非常重要。老汪比我年长9岁，阅历丰富，文革时独自一人从上海到江西农村插了几年队，睿智，幽默，乐观。那时，和他聊聊，或者只是见到他房间里亮着的灯光，都会使我的心宁静许多。