【数学】《如何和孩子一起玩数学》总结
我上学时比较擅长数学，高考时数学成绩差一分满分，按道理来说，我应该喜欢数学，但是恰恰相反，我并不喜欢数学，数学对我来说只是一门不得不学的课目。现在作为妈妈，我也不热衷辅导孩子数学，我告诉孩子学习数学很重要，给他们买一些数学书，让他们自己读。但我内心里认为数学是门枯燥的学问。我知道像我这样的父母不在少数。提起辅导孩子数学，很多父母都要皱眉，为了讲通一道题，经常父母面红耳赤、声嘶力竭，而孩子心烦意乱、一脸浆糊。所以才有很多数学辅导机构出现，但是并不是上了辅导班，孩子的数学成绩就提高了，而且课外太多的数学学习和练习时间反而让孩子厌倦数学。即使有些孩子成绩提高了，但他们可能会像我小时候一样，足以应试，但是失去主动获取知识的兴趣和动力，违背了学习的根本目的。不过我最近开始觉得数学其实很有意思。仔细想想，自然界的绝大部分现象都可以用数学来概括和表达：植物叶片的数目、行星运行的轨道、经典建筑的结构、钢琴曲的节奏、星云的形状。。。这些看似纷繁杂乱的表象下面都有一个抽象而简洁的数学规律。以数学的角度去看世界，我们会透过表现发现一些令人深思的问题，比如：我们的宇宙是否是一个数学模型？生命的本质是否是一种数字的组合？时间是人造的数字概念还是真实的存在？
但是我们目前的数学教学模式能让孩子体会到数学的魅力吗？我很怀疑。正如学习语文不是为了做阅读理解和默写生字，而是理解和内化优秀的文章和作品，提高自己的思维和表达能力，数学也绝不是为了做选择题和应用题，而是为了更好的理解我们这个世界，能够创造性的解决问题。我在想：现在学校的数学教学方式会不会像语文教学那样让孩子陷于割裂的题目之中，低头一粒一粒捡单颗的知识，而遗忘了整体目标和学科体系，让孩子体会不到数学的意义呢。如果我们不改变这种把知识当作一个个割裂的题目的教学模式，无论是在家家长给孩子补课，或者送到辅导机构补习或超前学习，孩子对于数学都难以产生兴趣，学到最后不知道为什么要学，不知道除了考试，学数学到底有什么用。我昨天刚好无意中读到一本书：台湾数学老师唐宗浩的《跟孩子一起玩数学》。翻开之后，读了几页，立刻被吸引住，作者的很多看法正好点清我一直没有想清楚的问题，随后我一直不停的读完这本书。这本书不是题目集锦，也不是数学故事，而是基于作者自己的数学专业学习和多年数学教学的经验，剖析现有数学教学中的典型问题，以对数学学科的总体认识，提出以培养解决问题和创造力为目标的亲子数学学习方式。
首先，作者提出家长不能把数学学习推给教辅机构，而是应该自己参与。教辅机构良莠不齐，家长没有评估和参与，无从知道机构的教学质量，可能会花了钱，孩子学习更糟。并且，教辅机构存在的问题是：有的提供解题套路，通过大量练题，短期提高孩子在单独知识点的答题能力，但是这样训练出来的孩子可能会小考考的好，在考验知识体系和综合应用以往知识解决复杂问题的大考中考不好。有的机构老师表面很有解题方式，能辅导孩子解出炫目的难题，但是使用权威性的教学方式，而不是启发式的教学方式，孩子离开老师就不会解题，失去自己的思考能力，好像学会了更难的知识点，其实是学笨了。孩子失去兴趣，思维变得僵化。孩子可能小学、初中学的好，到高中和大学学复杂综合的数学知识时，却跟不上。教辅机构的缺点老师自己清楚，但不会和家长说。老师可以把责任推到孩子身上，孩子也以为自己就是学不好数学，产生数学厌倦症甚至恐惧症。如果家长陪孩子一起思考、一起讨论、一起练习和创造，可以真实的看到孩子的学习过程，不再是看表面成绩，而是看到他的努力和困惑，给与实际的协助。但是家长会说: 我自己数学都学不好，怎么教孩子呢？或者我数学学的还不错，但不知道怎么教小朋友。针对这些疑问，这本书提出以下方法:一、家长并不是一直“教孩子数学”，而是“陪孩子重新学数学“。陪孩子学习，可以根据孩子的年龄和进度，采用不同的姿态：1. 引导者：孩子小时，父母可以设计活动和内容，父母是引导者，孩子是跟随者。2. 共学者：孩子大一些时，可能有些数学知识，父母已经忘记或不会，父母可以和孩子一起找资料、做实验和讨论。3. 学习者：孩子更大一些，或者他在某些领域已经比父母懂得多了，父母可以聆听和提问，听他组织和整理知识。数学不仅仅是计算，更不是做题、考试和竞赛。数学包含了观察秩序、建立模式、解决问题和精准表达.2. 能以自己的方式说明和解释，比如：为何分数乘法是分子乘分子，分母乘分母。要达到第三个创造的层次，孩子必须要有牢固的第一、第二层次的基础，并且有主动性。教师要设计有意思的未知问题，不要求学生一味模仿老师的解题方式，不一开始就要求标准做法和标准化的算式，鼓励孩子进行未知探索。作者提出了八种诊断式教学法，其中对我很有启发的三种是：数学知识是多尖顶的塔，一层一层递进，每一个知识环节都有前期知识点，前期知识不牢，就难以理解和学习后期知识点。老师可以通过对前期知识点的询问，或者重复前面的步骤，发现孩子在哪个环节有漏洞，先教会漏洞处的知识点，再学新的知识。很多孩子前期的知识还没有学好，就跟着班级进行更难的知识点学习，上课听不懂，概念不理解，练习做了等于没做，渐渐的知识漏洞越来越多，成绩下滑，厌倦数学。由孩子扮演老师，出题目给大人和朋友做，并且检查答案，在这个过程中，孩子会很专注地组织、观察和创造。孩子在写题之前，需要把每一章节的概念整理清楚，每一章节写一两题，不会的地方查课本，彻底弄懂。大人在答题时，可以写下自己详细的解题思路，让孩子观察和了解自己的解题心路历程。也可以轮流交互出题，你可以在孩子出题的基础上有一点点变化，引导孩子延伸思路或者学习新知识点。要避免：在不懂概念的情况下练习，或已经熟练了还反复练习同样的题型。作者建议同样知识点同样题型连续做对三题就可以了。
鼓励孩子提问，还要教会孩子自己寻找答案，分辨信息，可以带着孩子去了解当初人们研究的过程或者设计实验、研究看看。反复讲解，孩子还是听不懂，家长会觉得挫败，但是孩子会觉得更挫败。有挫败感时，不要发泄情绪，最好停止教学。可以使用“对事不对人“的用语，比如：”这东西还真难，我们之后再想办法，今天先这样吧。“如果孩子因为数学和生活没有关系，不明白为什么学而排斥学数学，可以从生活着手，比如从家务事中寻找数学。如果孩子因为一直要写题目，而排斥数学，要分析是因为孩子前期知识有漏洞，而不会做现在的题目，还是因为题目实在太多。前者需要在数学的知识地图上找出孩子哪里会，哪里不会，找时间，把前期知识学会，把漏洞补起来，再学新的，（在这方面，可汗学院KhanAcademy.org和自由数学math.alearn.org.tw都提供了很好的数学知识地图）。后者需要和老师沟通，或家长批准孩子少做题。如果孩子觉得数学太难而排斥数学，需要家长用诊断教学来协助孩子发现自己的问题，加以克服，应当注意到这样的孩子可能学校的教学方式和进度不适合他，家长不用受老师的教法所限。如果孩子解题策略，因为被动的接受训练，过度特化，固定下来，反而不利于新的学习。不当的补习，比如集中训练珠心算，或者卖弄解法、使用权威、否定学生主动思考的老师，会扼杀兴趣，把聪明孩子教笨。家长不仅需要知道孩子在教辅机构得到什么，也需要知道孩子会失去什么。孩子只求问题的格式，不问问题的意思，讲究标准问题、标准解法、标准答案，比如：孩子认为家长的教法和老师不一样，不愿意去理解和接受，或者题型格式变化，就不会解题。格式化的孩子往往不明题意，只是照着格式去做，在高中遇到代数、三角函数这些需要综合理解的抽象概念，就容易碰壁。所以家长需要鼓励孩子理解题目，鼓励他用不同的想法去解决题目，比如用运算、公式或画图。另外，家长要为孩子建立一个独立于分数之外、长期来说更有意义的衡量指标，即他真的理解多少，能运用多少，逐渐往上搭建新的知识点。当孩子成绩下滑，请记得，成绩只是众多参考指标之一，它不足以告诉我们问题的症结在哪里。我们要陪伴孩子，一起了解他的前期知识哪里有漏洞，了解他的思考过程，哪里有盲点，了解他的记录习惯，哪里有问题。有真实的陪伴和协助，才能协助孩子克服问题。
数学是从许多具体的现象中，抽去其表象，建立统摄他们的概念，没有经历具体的经验和抽象的过程，一个数学名词只是空洞的字眼。在幼儿和小学低年级时，让孩子从主动探索的具体经验（而不是背乘法表或珠心算），比如爬树、儿歌、舞蹈、游戏中建立对形状、数字、方向、日期、时间和量的感觉，这些具象的经验会为后面抽象的数学概念建立基础。二到四年级开始略微抽象的知识，通过游戏和图像的方式，帮助孩子学习抽象的算式。鼓励孩子碰到陌生问题，先自己想办法，试试看，自己试过，再去听讲解，就能会其中关键所在。四到六年级，孩子的数学程度开始产生明显的差异。一般来说，生活经验丰富、主动思考的孩子程度会更高，而程度低的孩子一般只知其然，不知其所以然。家长需要帮助孩子理解数学概念和公式的来源和含义，比如为什么梯形的面积是上底加下底，乘以高，再除以二，它和三角形、平行四边形面积的关系，以及“面积”的原始意义。家长针对一个概念，通过三四种不同的题目形式，去看孩子是否真的理解和掌握这个概念。在协助孩子时，我们需要观察他在哪个解题步骤中卡住，而不是每一步从头示范。针对卡住的步骤，用引导性的问题协助他想通，或者举类似的例子示范讲解，但不要替他做，卡住的部分一定要他自己做出来，才学的完整。其余学生自己能做的部分，家长等待和观察即可。中学数学开始有更多的抽象概念和新的数学符号。任何精简的符号比如sin、cos、∑、∞，都是为了让使用者少写字而发明的，它的背后一定是一个完整的概念。我们需要先协助孩子理解概念，再引入符号。用孩子已知的知识，推演和理解新概念或原理的来龙去脉，等孩子彻底理解概念后，再把符号对应到概念。在中学阶段一定要养成理解而不死背的习惯。孩子如果掌握基本公式的推导过程，不仅掌握公式本身，还学会了推导时应用的解题技巧和推理思路。自己推导过的公式也不容易忘记。推导公式、理解原理比做刁钻的难题更能培养孩子的数学能力。协助中学生的数学学习，很重要的一点是不要表演式的教学，教师表面讲的精彩，却示范的太多，孩子自己没有主动思考，长期这样孩子的思维发展受限，主动思考的勇气和习惯也没有了。讲解中应该留白，空出关键的部分，让学生自己推想和讨论，找到学生思路合理的地方，肯定它，从那里出发延伸，再组织和结晶。好的数学课提出值得思考的好问题，结合观察、聆听、等待、讨论、示范和问答，让孩子觉得不是被教会的，而是自己想出来的。中学阶段的数学知识比如三角函数、指数、对数、概率和几何学等，和其他学科紧密联系，在历史上很多时候就是为了解决物理、天文、地理等学科的问题而发现的。我们的数学题目可以取材于其他学科，能够让孩子体会数学的应用价值。也可以鼓励孩子将所学的数学知识用于编程，制作漂亮的动画、插图、3D打印作品等。Scratch、Geogebra都是很好的免费编程软件。
在这部分，作者写了如何处理不同的数学学习情景，比如学习障碍、思维固化、和学习尖子生等。在这部分，让我印象深刻的是：学习数学，和学习艺术一样，要追开发创造力，而不是模仿。和物理、天文、工程、音乐等实际应用有关，或者能让人往实际应用去思考。虽然解决的方式可能深奥，问题本身却简单合理，符合自然的好奇。透过解决这个问题，可以产生新观点，发展出新工具，有助于扩大视野，解决其他问题。欠缺这些特点的题目往往是难题、杂题。难题、杂题解完后让人有解脱的轻松，却没有创造的成就感，也没有学到新知的喜悦。我们要选择有营养的好题，而不是揣摩出题者的圈套。培养学生的创造力，需要让他们在经典的题目、重要的题目、好的题目上待久一点，从不同角度去欣赏，从不同途径去解决，培养简洁、直观的数学品味，比如尝试用不同方法证明勾股定律。示范这些题目，不要每一步都讲解，要保留一些环节让学生做原创性思考。另一个途径是提供大量没有标准答案的题目，让孩子从头到尾，尽情发挥创造力。比如棋类、牌类和策略类的桌游，或者估测类的问题：比如如何测量一棵树的高度。老师也可以设计创造性的数学教学活动，比如在厨艺、美术、劳作等创造活动中，明确运用到数学概念和原理。这本书内容很丰富，我的总结省去了部分内容和很多细节、例子，推荐有兴趣的家长读一读这本书，运用书中的方法，将学、问、练、想、做结合起来，和孩子一起玩数学。最后送上一个有趣的数学题，供朋友们和孩子一起讨论，这道题有不同的解法，欢迎把你的解法和答案留言给我。
你能推算出这个数字序列中第1000个数字是什么吗？
