从导数和极限的定义出发，我将证明你们在本科微积分中会学到的一阶导数规则。

如果你想从头开始做一个苹果派，你必须先发明宇宙——卡尔-萨根

大多数学生看到的微积分中的幂函数求导公式（Power Rule，下称幂法则），通常没有证明或只有部分证明。事实情况是，学生从一个完整的证明中会学到更多的东西。即使你觉得这些教科书中给出的证明已经足够，再多一个证明也无妨。在这个证明中，我不仅将证明幂法则，还有：

证明积法则
介绍归纳法的证明
证明链式法则
介绍一点实分析

证明使用的要素‍

在这个证明中，我将只使用下面的“工具”：

极限的定义
导数的定义
任何你在标准代数课程中学的东西
包括指数法则和各种代数结构（整数、有理数和实数）的属性

这些限制将使我无法使用

对数的导数
指数函数的导数
或二项式定理

我见过的大多数证明都至少使用了其中之一。

证明的结构‍

我的证明将有以下结构：

证明积规则
证明n是整数的情况下，使用积规则和一些归纳法
证明链式法则
用链式法则证明n是有理数的情况
证明n是一个无理数的情况，从而证明所有实数的幂法则

积法则（The Product Rule）‍

我们知道，x^4= x · x^3。如果我们知道如何求x和x^3的导数，以及两个函数的乘积的导数，我们就可以求x⁴的导数。出于这个原因，我们将证明积法则。

我们要从导数的定义来证明积法则。首先，定义一个函数z(x)=f(x)g(x)。然后，z相对于x的导数。由于我们谈论的是任意函数，我们必须使用导数的定义。

可能没有什么能让你眼前一亮，在这种情况下，我们要寻找一些方法，以不同的形式重写表达式。既然表达式中有一个f(x+h)和一个g(x+h)，我们就应该设法把f(x+h)-f(x)或g(x+h)-g(x)带入表达式中。这样我们就可以用导数来代替它们。在这种情况下，我们可以使用一个经典的技巧，即添加一个0。例如，我们可以把f(x+h)-f(x+h)加到分子中，这样就不会有任何变化。我们要把( f(x+h)g(x)-f(x+h)g(x))加到分子上，这时我们可以做代数：

为了让证明更容易，我将分别处理每个极限，然后把它们放回一起。第一个极限是：

第二个极限是：

因此，我们已经证明了积法则，如下图所示：

证明n是整数的情况‍

有三种情况：

n = 0
n > 0
n < 0

如果我们证明每一种情况，我们就完成了这一部分。

证明n=0的情况

这就完成了证明。

证明n>0的情况

如果我们使用导数的极限定义对x、x²、x³……求导，你可能会看到这些导数遵循一个简单的规律：幂法则。证明n=0和n=1的情况是很简单的，因此，我们可能想尝试用归纳法证明。

归纳法的证明

要用归纳法证明什么，需要：

证明一个基本情况（个例）
并证明每个情况都能证明下一个情况（弱归纳法）或证明所有已证明的情况都能证明下一个情况（强归纳法）。

强归纳法和弱归纳法是等价的，但我不能在这篇文章中讨论这些细节。对于这个证明，我们要使用弱归纳法。在给你们展示了这个证明之后，我会试着给你们一个直观的感觉，为什么它是可行的。在此过程中，我将稍稍打破传统。通常，弱归纳证明指的是步骤2中的情况n和n + 1，但我将使用n - 1和n。用n + 1替换n会将表达式转换回传统形式。

基本情况

本节将很快，因为它只是代数。

归纳步骤

在证明的这一部分，我们将证明，如果幂法则在n=m-1的情况下成立，那么m的情况也成立。这一部分我选择用m而不是n，因为我已经用n表示x的幂。如果幂法则在n=m-1时不成立，那么n=m的情况是否成立就不重要了，所以我们将假设幂法则在n=m-1时成立。

归纳法的直观解释

如果你不相信这个证明是有效的，那么请选择任何一个自然数（这个证明对你选择的任何数字都有效），但我将向你展示n=3的情况，你应该看到一般的模式。首先，我已经证明了n=1的情况。现在，我将在归纳步骤中向你展示n=3这一特定情况下的证明：

如果你对n=2的情况不相信，那么我们可以重新使用归纳步骤中对n=2的特定情况的证明：

我只对n=1的情况使用了幂法则，所以你应该相信幂法则对n=3（和n=2）的情况都有效。

如果你碰巧是一个计算机科学家或程序员，你可能会认识到这是一个递归论证。在许多情况下，归纳法和递归法都可以描述一些东西，但它们会向相反的方向发展。

证明n<0的情况

现在我们可以使用商法则来证明这种情况，但是积法则更容易记忆和使用。相反，我们将使用以下事实：

这些函数在x = 0处没有导数，所以我们不关心。我们可以取两边的导数，使用积法则，并求出导数：

在这一点上，我们已经证明了所有整数的幂法则。

证明链式法则

用来证明积法则的方法是有效的，所以让我们试试类似的方法。由于我们想要的是h→0的情况，所以我们想要c-x→0，这相当于c→x，此外，x+h=c。把这些代入导数的定义：

你可能意识到，当c接近x时，g(c)接近g(x)。如果你看过一些函数中的函数的导数的例子，你可能会注意到一个规律（试着求(x + c)^3或(x^2+ c)^2的导数，然后提出(x + c)或(x²+ c）)。你可能会想到，取外函数相对于内函数的导数，这看起来像：

如果你定义一个新的h=g(x)-g(c)，并注意到当c接近x时，h接近0，你可以把上面的导数重写如下：

由于g(c)只是一个数字，这个表达式是f(x)在x=g(c)处的导数。我们知道如何计算这个表达式，所以如果回到原来的导数，我们会想在底部得到g(x)-g(c)。在这种情况下，可以使用另一种经典技巧：乘以1。就像加一个0一样。我们可以选择许多等于1的表达式，但是（g（x）-g（c））/（g（x）-g（c））会让我们得到正确的答案。

最后，我们得到链式法则：

这个证明存在的问题

我们在x附近使用一个a，使g(a)=g(c)，那么我们实际上没有乘以1，而是0/0（这是没有定义的）。对于我们所做的，这个链式法则的证明仍然有效因为只有当a = c时g(a) = g(c)。如果试图在x=0处求一个类似sin( 1/x )的函数的导数，你会发现一个问题，因为你永远无法在x=0周围找到一个区域，函数在这整个区域内都是有定义的。为了绕过这个限制，你可以通过解析延拓来堵住这些漏洞。在这个证明中，这对我们来说并不重要，所以我将继续往下。