两个函数的单调分析

设 L(x)=x1/(1-x).(0<x<1)

(一)减函数 y=L(x)+L(1/x)=x1/(1-x)+xx/(1-x).(0<x<1)

分析:

(0<x<1)y=x1/(1-x)+xx/(1-x)=(1+x)xx/(1-x).

取对数,ln(y)=[x/(1-x)]ln(x)+ln(1+x).(0<x<1)

取导数,y′/y=ln(x)/(1-x)2+1/(1-x)+1/(1+x)<0?(0<x<1)

化简得,ln(x)+2(1-x)/(1+x)<0.(0<x<1)

倒变代换,ln(x)+2(1-x)/(1+x)>0.(x>1)

导数分析法:取导后,不等式仍然成立。积分区间(1,x]。

(二)增函数 y=L(x)*L(1/x)=x(1+x)/(1-x).(0<x<1)

分析:

取对数,ln(y)=[(1+x)/(1-x)]ln(x).

取导数,y′/y=2ln(x)/(1-x)2+(1+x)/[x(1-x)]>0?(0<x<1)

化简得,ln(x)>(x-x-1)/2.(0<x<1)

变量代换,令t=ln(x)得,0>t>(et-e-t)/2=sh(t),成立。

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