不等式在物理教学中的应用

       摘 要：在许多物理过程中，由于变化和规律的制约，物理量之间不仅存在着等量关系，而且还存在着大量的不等量关系,在求一些物理量的临界问题时，就需要用到不等式的知识。物理教学中通过物理问题分析，依据物理规律写出物理量之间的函数关系或做出符合题意的图示，采用不等式求解方法求解物理极值问题，是数学物理天地中最具特色和魅力的课题。

       关键词：不等式；物理；临界问题；最小值；最大值；范围

    

       不等式是数学学科中一项非常重要的内容，同样在求解一些特定的物理过程中，巧用不等式，往往能起到事半功倍的效果。重视不等式在解答物理习题中的作用，有助于培养我们运用数学知识解决物理问题的能力，也有助于我们开拓思路，发展思维，正确地认识数学在物理学中的地位和作用，使物理与数学之问架起一座互通的桥梁，使我们学得更清晰、更明白。在许多物理过程中，由于变化和规律的制约，物理量之间不仅存在着等量关系，而且还存在着大量的不等量关系，这就需要用到不等式的知识。比如物理中关于一些物理量的临界问题，求某一值的最大值或者求某一值的最小值，这类问题具有临界值的条件突出、结果显明的特点，不等式是解决这类问题最有效的方法。下面我们共同来看几个例子

一、求解最小值

如图（1）所示AB为光滑的水平面，在水平面的右端竖立着一个半径为R的光滑半圆弧BCD，D为圆弧的最高点，一个质量为m小球向右运动，小球在水平面上向右的速度最小为多大时小球才能到达半圆弧的最高点D点？  

                               

图1                                                                 图2

答案提示：mv²/R=mg

mv²=

mv_D²＋2mgR v=

解析：这样的等式方程提示对于解方程就像雾里看花，根本不知道为什么在D点小球所需要的向心力等于重力时，水平面上小球的速度就会具有最小值。关于圆周运动最值的求解，受力分析必不可少，并且不失时机的引入不等式使最值问题迎刃而解。我们先审题找到题中的关键词(光滑的水平面、光滑的半圆弧、能达到半圆弧的最高点)，关键词中蕴含着小球从B运动到D的过程中机械能守恒，而且从B到D再做圆周运动。再找题中的隐含条件就是小球到达半圆弧的最高点D点的弹力，它的取决与圆弧D点的形变大小，也有可能小球到达D点对圆弧没有挤压即F等于零，F大于等于零就是本题的隐含条件。其次对小球到达D点受力进行分析，小球在D点受到两个力即重力mg和圆弧D点给小球向下的弹力F ，这两个力的合理给小球提供了向心力。对于这道题解析如下：解：小球做圆周运动在D点受到重力mg弹力F小球受力如图（2）重力和弹力的合力给小球提供向心力

mv_D²/R=mg＋F ①             F≥0 ②

小球从B到D过程中机械能守恒，以AB平面为零势能面

mv²=

mv_D²＋2mgR   ③ 方程①②③联立求解

mv²-2mgR≥

mgR     ④

解之得：v≥

即v的最小值为

我们来对比一下引入不等式后的解题过程和等式方程答案提示，等式方程对与初学者来说跃迁太大不容易理解，根本体现不出为什么小球在D点所需要的向心力等于重力时，小球在水平面上向右的速度就为最小值。我们引入不等式后把题中隐含的圆弧对小球弹力F的范围通过不等式F≥0表现出来，进而结合圆周运动向心力计算公式和机械能守恒定律把关于F的不等式转化成关于水平速度v不等式

mv²-2mgR≥

mgR，计算结果v≥

比较直观反映水平速度v最小值。用不等式解最小值的优点就是解题过程条理清楚逻辑性强最小值一目了然。

二、求解最大值

如图（3）所示用长为L的细绳栓着一个质量为m的小球在竖直面内围绕o点做圆周运动，细绳所能承受的最大拉力是小球重力的

倍，当小球到达最高点时最大速度为多少？（不考虑空气阻力）

图3                                                                 图4

解析：小球做圆周运动到达最高点时受力有两种情况，第一种情况小球在最高点受到两个力作用即小球所受到的重力mg和绳子的拉力F小于等于

mg，第二种在最高点只受重力（是第一种情况的一个特例F=0）。第一种情况重力和拉力的合力给小球提供了向心力，第二种情况小球的重力给小球提供了向心力。综合分析小球做圆周运动到达最高点所需要的向心力大于等于重力小于等于重力和最大拉力的合力。结合本题要求只求上线属于第一种情况，下面用不等式来解答。

解：根据题意小球在最高点受到两个力作用其受力图如图（4）所示，重力和拉力的合力给小球提供了向心力

mv²/L=mg＋F     ①F≤

mg     ②

方程①②联立求解

mv²/L≤mg＋

mg                       ③

解之得：v≤

   即小球在最高点的最大速度为

三、求物理量范围

第二题也可以转变成最大值和最小值的综合题即求速度v范围，题的内容不变只是问题变动一下问题，可以这样问求小球在竖直面内做圆周运动时在最高点的速度范围（或者最大速度和最小速度）。题解如下

解：根据题意小球在最高点受到两个力作用其受力图如图（4）所示，重力和拉力的合力给小球提供了向心力

mv²/L=mg＋F                                 ①

0≤F≤

mg                                         ②

方程①②联立求解  

mg≤mv²/L ≤mg＋

mg               ③

解之得：

≤ v ≤

如果用不等式解这类题时势必要找出题中隐含的某个物理量范围，先根据这个物理隐含条件构建一个不等式，再结合题中其他信息构建出所求物理量的不等式。利用不等式这种方法我们要学会如何提炼条件，如何规范书写极值问题解析过程利用不等式求解最值问题和物理量范围问题条理清楚、逻辑性强、结果显而易见，不等式的引入给我们物理解题带来许多的方便同时也可以加强学科的相互滲透。

参考文献

[1] 胡少希 例谈基本不等式在物理解题中的应用，物理教学探讨，2011 11 4

[2] 赵洧 吉跃仁 数学方法在物理解题中的应用，技术物理教学，2003 1期

[3] 梁永群 物理极值问题例解，技术物理教学，2001 03期

[4] 梁永丰 用不等式巧解物理最值题，教育周刊，2010 6