郑毓信：“数学深度教学”十讲之四——内容的“方法论重建”与教学中的“问题引领”

“数学深度教学”不仅应当帮助学生很好地掌握各种具体的数学知识与技能，还应由数学知识和技能的学习深入到思维的层面，即应当帮助他们通过数学学会思维。以下就是这方面工作特别重要的两个环节：（1）教学内容的“方法论重建”；（2）“问题引领”。

1. 强调思维的发展不应被理解成用思维教学完全取代数学知识与技能的教学，而是应当用思维分析带动具体知识和技能的教学，从而真正做到“教懂、教活、教深”，即能够通过自己的教学向学生展现“活生生的”数学研究工作，而不是死的数学知识；能帮助学生真正理解相关的内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背；不仅使学生掌握具体的数学知识，也能领会内在的思想方法。

具体地说，数学教学不应被等同于魔术表演。例如，尽管我们可以借助某种游戏（如从1开始两人依次报1～3个相继的自然数，报31者为输）激发学生的学习兴趣，但最终应清楚地揭示背后的道理；更重要的是，我们应通过教学使学生获得这样的感受：这并非是只有少数天才才能做出的发明创造，而是“可以理解的、可以学到手的和可以推广应用的”。

当然，这不是指我们在课堂上应当原封不动地去介绍相应的历史（在很多情况下这也是不可能的），而是应当通过自己的创造性劳动实现“数学史的方法论重建”，真正“化神奇为平凡”。

例如，关于少年高斯如何很快地计算出“1+2+3+……+100=5050”，波利亚是如何构思出“每只鸡都用一只脚站在地上，兔子则举起了前腿”这样一个“奇思妙想”，从而顺利地解决了“鸡兔问题”的方法论解读，就可以看成这方面的典型实例。（详见另著《数学方法论入门》，浙江教育出版社，2006年，第七章）有兴趣的读者还可尝试着去解决这样一个问题（这是一位数学院士在报告中提到的），即通过“方法论重建”说明人们是如何做出“三角形的内角和是180度”这一发现的。当然，针对“勾股定理”我们也可提出同样的问题。

由于“数学方法论指导下的数学教学”在我国已提倡多年，更有不少的研究成果与教学经验（特别是在中学层面），在此不予赘述。（感兴趣的读者可参见另著《数学方法论》，广西教育出版社，2008年；或《数学方法论的理论与实践》，广西教育出版社，2009年）

2. 显然，“内容的方法论重建”进一步凸显了教师在教学活动中的主导作用。正因如此，我们应当特别重视这样一个问题，即如何才能同时保证学生在学习活动中的主体地位。这也正是数学教学为什么应当突出“问题引领”的主要原因。

从上述角度进行分析，我们就可以很好地理解用“真问题”引领教学的重要性，即应十分重视问题的“自然性”。当然，这也是“深度教学”的一个必然要求：我们不仅应当围绕“真问题”去进行教学，也应通过适当的追问、反问等引导学生更深入地进行思考。

【例4】“真问题”和“深问题”

“真分数和假分数”是特级教师罗鸣亮新近执教的一堂研究课。基于不少学生在课前就已知晓了相关的规定，他设定了这样的教学目标：“本节课立足暴露学生的真实问题来激发学习的需求，让学生在自主探究的过程中引发对数学知识本质的思考，促进学生走向深度的数学学习。”［1］

具体地说，罗鸣亮老师的这一堂课主要集中于“假分数假在哪里”这样一个问题，并通过以下的教学设计成功地使之成为全体学生的共同关注。

一、暴露已知，互学提升。

师：今天我们学习真分数和假分数，知道什么是真分数和假分数的请举手。这么多人知道，你是怎么知道的？

师：看来，许多同学都知道了真分数、假分数。可是，还有几个同学不知道，怎么办？

生：我来告诉他们。真分数就是分母大于分子的，如3/4。假分数就是分母等于分子或分母小于分子的，如3/3和4/3。

二、提出问题，自主探究。

师：今天要来学习真分数和假分数，既然你们都知道，请大家收拾好东西准备下课！

（学生迟疑，摇头）

师：都知道了，为什么还不下课？

生：因为我们还没深入学习，我们只知道什么是真分数和假分数。

师：你们还想深入学习什么？还有什么困惑？

生：我想知道真分数和假分数各代表什么。

生：它们有什么关系？

生：真分数和假分数是怎么来的？

生：假分数是不是分数？如果是，为什么叫假分数？

生：它们有什么用？

生：假分数假在哪里？

就如何激发学生的学习兴趣而言，上述设计显然十分成功。但笔者仍想提出这样一个问题：尽管“假分数假在哪里”确可被看成学生的真问题，但是除去帮助学生学会按照分子分母的大小比较对分数的“真假”做出判断，我们应如何促进学生认识的深化？

事实上，在弄清了“假分数究竟假在哪里”以后，我想不少学生都会有这样的疑问：既然分子大于或等于分母的分数都不能被看成真正的分数，为什么不把它们直接清除出去？！

在笔者看来，这也正是曹培英老师在相关评论中何以会写下以下的话，乃至直接引用张奠宙先生的“假警察一定不是警察，假人民币一定不是人民币”这一论述的主要原因：“确实，假分数'假在哪里’？教材、教参都没作解释……因此，也难怪绝大多数教师回避分数'真假’的讨论。然而，我们又不得不承认，这一令教师为难，却又萦绕学生心头不能放下的问题，连同与之相关的'假分数有什么用’，都是数学教学应该直面以对的问题。”［2］

当然，要用一堂课解决所有这些问题、特别是后一问题，时间肯定不够用。但在笔者看来，我们仍应对此予以足够的重视，特别是，我们不仅应当认真地去思考什么是学生的“真问题”，更应突出能够促进学生认识深化的“深问题”！

假分数之所以被认为“假”，这是针对分数原先的定义而言的；然而，由于假分数具有重要的作用，从而在此所需要的就不是将其从分数中清除出去，而是应对分数的意义（和范围）做出必要的扩展（由“分”和“部分与整体的关系”过渡到分数“比的定义”）。这也正是这里所说的“认识深化”的主要含义。

由于笔者在先前已多次撰文对数学教师如何做好“问题引领”进行了分析论述，以下就仅围绕“深度教学”指明这方面工作的若干要点。

第一，“核心问题”的准确提炼和“再加工”。首先，如果我们对核心问题的提炼不够准确，即集中到某些枝节问题或次要环节，真正的重点与关键就不可能得到凸显，相关的教学也就必定是一种“浅度教学”；其次，在确定了“核心问题”后，我们应由单纯的“教什么”转向“怎么教”，即应当进一步去思考如何能够通过“核心问题”的再加工更好地激发学生的好奇心和探究欲望，这正是数学学习的根本动力。

更一般地说，教学中我们应很好地处理“预设”与“生成”之间的关系，包括提出这样一个更高的要求：不应满足于由教师提出问题，也应努力提升学生在这一方面的自觉性，并逐步养成“提出问题”的习惯与能力（对此，笔者将在第十讲中做出进一步的分析论述）。

第二，“问题引领”不仅应当体现于课堂教学的开始部分，也应落实于其他各个环节，不同环节应有不同的重点。

具体地说，就课程的开始部分而言，我们应聚焦于“核心问题”的提炼与再加工；在课程的中间环节，除去“核心问题”的明朗化与“再聚焦”，我们应特别重视如何能够通过追问、反问与提出新的问题促进学生更深入地进行思考，包括引导学生从“元认知”的角度做出新的分析和思考，等等；最后，通过适当的问题引导学生在课后继续进行思考，从而很好体现教学的“开放性”。除此以外，我们也应高度重视引导学生对已有的工作做出总结与反思。（这方面的一些实例可见另文《以“深度教学”落实数学核心素养》，《小学数学教师》，2017年第9期）

第三，以下两个方法对于我们做好“问题引领”有重要的指导意义，即所谓的“大问题教学”（黄爱华）与“让思维在'问题链’中'浅入深出’”（吴正宪）。

更一般地说，尽管我们可以就如何做好“问题引领”总结出一些普遍性的经验或建议，但我们应更加重视针对具体的教学内容、对象与环境，创造性地加以应用。例如，数学教学应当同时做好“整体设计的开放性”与“细节处理的精致化”（张齐华语）。

第四，这是教学工作的一个更高境界：这时不仅原先设计的问题已经成了学生自己的问题，学生的关注也不再局限于原先的问题，他们所追求的更已超出了单纯意义上的“问题解答”（兰珀特语）。

显然，这时的学生也已真正成为学习的主人。

参考文献

［1］罗鸣亮.源于学生“真问题”的深度学习——“真分数和假分数”教学思考与实践［J］.小学数学教师，2019（2）.

［2］曹培英“. 假分数”的认知及其教学研究——兼评罗鸣亮老师“真分数和假分数”教学［J］.小学数学教师，2019（2）