哪种几何才是真的（上）
——非欧几何与现代数学的“公理”（上）
写给不经意的你 张宇桦 - 星空下的钢琴曲 2
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据说除了基督教的圣经之外，印的最多，流传最广的书，要算公元前300年左右，古希腊数学家欧几里得（希腊：Ευκλειδης ，英文：Euclid，公元前330年—公元前275年）写的《几何原本》（希腊文：Στοιχεῖα，英文：Element）了。全书共分13卷。书中包含了5个“假设（Postulates）”、5条“公设（Common Notions）”、23个定义（Definitions）和48个命题（Propositions）。
图1
图2
自从希腊人知道了
不能用分数表示之后，他们对“数”的热情转移到“形”上，这使几何学得到辉煌的发展。欧几里得的《几何原本》，集当时全部几何知识之大成并加以系统化，把希腊几何提高到一个新水平。在两千年之久的时期内，《几何原本》既是几何教科书，又被当成严密科学思维的典范。它对西方数学与哲学的思想，都有重要的影响。
欧几里得的《几何原本》，是一个精致的借助演绎推理展开的系统。它从定义、公设、公理出发，一步一步地推出了大量的，很不显然的，丰富多彩的几何定理。
他尽力对每一个几何术语加以定义。例如，他的最初的几条定义是：
定义1．点是没有部分的那种东西；
定义2．线是没有宽度的长度；
定义4．直线是同其上各点看齐的线；
定义14．图形是被一些边界所包含的那种东西。
他除了定义之外，又选择了一些不加证明而承认下来的命题作为基本命题，他把这些基本命题叫公理或公设。他有五条公理和五条公设，其中五条公设是：
公设1．从一点到另一点可作一条直线；
公设2．直线可以无限延长；
公设3．已知一点和一距离，可以该点为中心，以该距离为半径作一圆；
公设4．所有的直角彼此相等；
公设5．同一平面内的两条直线与第三条直线相交，若其中一侧的两个内角之和小于两直角，则该两直线必在这一侧相交。
欧几里得从公理、公设和定义出发，推导出了数百条几何定理。这一杰作展示了逻辑的力量，显示出人类理性的创造能力。
不过，到19世纪，数学家们的严格性标准大大提高之后，发现《几何原本》并非像原来人们所认为的那样完美无瑕，它有两方面的逻辑漏洞。一方面，欧几里得的证明中用到了公理、公设和定义没有包括的一些命题。这些命题要补充到公理当中去。另一方面，他的定义有问题：为了定义点，他用到了“部分”这个术语；为了定义线，他用到了“宽度”与“长度”；为了定义直线，他用到了“看齐”；为了定义图形，他用到“边界”。这样用不加定义的术语来说明要定义的术语，结果等于没有定义。这样的定义是不能在推理中使用的，因为在逻辑上我们不知道如何使用“部分”“长度”“宽度”“看齐”等这些术语。
这些漏洞已经被19世纪的数学家们补上了。
欧几里得的《几何原本》向哲学家们建议了一种认识真理的方法：从少数几条明白清楚的前提出发，用逻辑工具证明你的结论。如果前提是真理，则结论也是真理。这一思想对哲学家们产生了重大影响。后来的许多哲学家，特别是唯理论派哲学家，力图用欧几里得的方式写出自己的著作，阐述自己的学说与观点。
但是，一个更基本的问题出现了，怎么知道欧几里得的公设是真的呢？
两千多年中，哲学家们几乎一致认为，欧几里得的公设就是真理。认为这些公设是可以确定地明确地知道的东西，是绝对普遍而严格的真理。而且，多数哲学家认为这些公设既不是来自经验，也不是来自逻辑分析，而是来自人类理性的先天洞察能力。
确实，柏拉图（Plato，Πλάτeων， 公元前427年—公元前347年，古希腊伟大的哲学家）早就宣称：我们用理性的眼睛看到“形式”的永恒王国；康德（Kant，1724年—1804年，德国古典哲学的创始人，德国古典美学的奠定者）认为，心智认知几何学时是在把握它自己的感觉观能的先天结构。就连一些唯物主义的哲学家，在涉及几何学时，也不否认欧几里得几何的真理性。
那么，说这些公设是真的，是什么意思呢？比方说，“两个点可以确定一条直线”，这里直线是什么意思呢？如果“直”线的意思不清楚，说“两点可以确定一条直线”是“真”的又有什么意义呢？
哲学家们认为，“直”就是人们通常理解的直。什么又是通常理解的直呢？我们有好几种标准：
（1）木工检验一条直线直不直，是沿着它看。看，当然依赖于光。这就是说，光走的是直线。
（2）建筑工人确定地基时要拉线。这是认为，拉紧了的线是直的。
（3）直线是两点间最短的路线，是唯一的。
（4）过线的一端以另一端为心画圆。如果线是直的，圆周长应当是线长的2π倍。
当然，我们还可以找到别的标准。如果这些标准互相矛盾了怎么办呢？大家认为，它们不会矛盾。确实，经验告诉人们这几条标准是一致的。
于是，人们没有理由怀疑欧几里得几何的真理性。欧几里得几何被当作人类可以认识绝对真理的范例。至于逻辑漏洞，那是技术上的细节，补上就好了。
在欧几里得的《几何原本》中，第五条公设是：同一平面内的两条直线与第三条直线相交，若其中一侧的两个内角之和小于二直角，则该两直线必在这一侧相交。因它与平行公理是等价的，所以又称为“欧几里得平行公设”，简称平行公设。
由于第五公设的内容和叙述比前四条公设复杂，理解起来并不见得容易，很不像一条自明之理。所以引起后人的不断研究和探讨：能不能把第五公设作为公设的资格取消呢？这个诱人的思想吸引了欧几里得以后的许多数学家。要把它从公设的行列中赶出去，就只有用别的公设来证明它，使它成为一条定理。但是，企图证明第五公设的努力在两千多年中无一例外地都失败了。每一个被提出的证明不是在逻辑上犯了错误，就是隐含地引进了另一条不加证明就承认了的命题。
对第五公设的研究，使人们的几何知识更丰富了。大家弄清楚了，可以用另一些命题代替第五公设而不改变欧几里得几何的内容。这些可以代替第五公设的命题有：
“过直线外一点能且仅能作一条平行线”
“三角形内角和等于两直角”
“过不在一直线的三点有且仅有一个圆”
“存在面积足够大的三角形”
到19世纪，数学家开始从反面入手想问题了。这叫做“回头是岸”。他们想：既然两千多年的努力都失败了，是不是根本不可能从另外几条公设出发证明第五公设呢？如果假设第五公设不成立，用不与第五公设相容的公设代替它，推演下去又会如何呢？如果出了矛盾，就能与用反证法证明了第五公设。如果永远不出矛盾，岂不是发展处另一套几何系统吗？
果然，罗巴切夫斯基（1792年—1856年，俄罗斯数学家，非欧几何的早期发现人之一）、鲍耶（1775年—1856年，匈牙利数学家、诗人、剧作家）和被称为数学王子的高斯几乎同时各自独立地发现了这一种几何。高斯怕引起争议而没有发表。而罗巴切夫斯基和鲍耶都发表了这一发现。罗巴切夫斯基为这种一开始就遭到反对与讥笑的几何挺身辩护，坚持自己的观点。现在这种几何叫罗氏非欧几何。
在罗氏非欧几何中，过直线外一点可作无穷多条平行线，三角形内角和小于两直角，相似三角形必全等，圆周率大于π等许多不符合人们通常看法的结论。
随后，黎曼也提出了另一种非欧几何。在黎曼几何里，不存在平行线，直线不能无限延长，三角形内角和大于两直角，圆周率小于π。
非欧几何的发展引起了热烈的争辩与探讨。两千年来，大家以为只有一种真实的几何，那就是欧几里得几何。如果欧几里得几何是真的，另外的几何就应该是假的，不相容的，有矛盾的。但是，反对非欧几何的人一直不能从非欧几何中推出矛盾。恰恰相反，数学家利用在欧几里得几何之内构造模型的办法，证明了如果欧式几何内部无矛盾，非欧几何也无矛盾。
例如，把球面上的大圆叫做“直线”，这样每两条“直线”都相交，由“直线”围成的三角形内角和就大于180°（如图3），等等。这正符合黎曼几何。如果黎曼几何有矛盾，那这矛盾一定同样在欧式几何的球面上表现出来。
图3
又例如，把欧几里得平面上的一个圆的内部看成罗巴切夫斯基平面，每条弦都叫做“直线”。这样，过弦外一点当然可以作无限多弦与此弦不相交（如图4），那就是有无穷多条平行线了。按某种特殊的“长度”与“角度”计算方法，可以算出三角形“内角和”小于180°（如图5）。
图4
图5
这样，三种彼此矛盾的几何又成了同呼吸共命运的三姐妹——一个内部有矛盾，另外两个也就有矛盾！
本文作者：manifold12