【高数预备课】集合的基本运算
就像数有了加减乘除才能解决更多的问题，集合也需要类似的基本运算来提升处理问题的能力，本课就来介绍相关的内容。
1.1 全集
进行科学研究总需要划定适用范围，比如牛顿的经典力学的适用范围是低速运动，而爱因斯坦的相对论可以适用在高速的情况：
集合中有一个概念就是用来划定范围的：
在同一个全集中的子集，或者说在同一个范围内的集合，才有进行相互比较（指子集，真子集）、基本运算等的必要。比如代表某校学生的集合 ，和代表所有茶叶品种的集合 ，两者几乎不会相提并论，更没有进行比较、运算的并要。
所以后面的讨论都会在某个全集内进行。
1.2 全集的 Venn 图
比如某全集：
在全集内有两个子集：
作这三者的 Venn 图时，常用一个方框来表示全集 ，两个子集会分别画在方框内：
下面是三个集合：
请问 可以作为 、 的全集吗？
A: 可以 B: 不可以
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集合的基本运算总共有 4 种，分别是交、并、差、补。下面逐一进行讲解。
让我们开始第一个运算的讲解。对于集合A、B，交运算（Intersection）被定义为：
用 Venn 图可以表示如下，其中阴影为运算的结果：
反复运用上述定义，可以将交运算推广到有限个甚至无限个集合中去（其中 符号代表正无穷）：
假如有两根直线 和 ，两者交于 点：
设有集合：
那么
A
B:
C:“以上皆对”
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对于集合A、B，并运算（Union）被定义为：
用 Venn 图可以表示如下，其中阴影为运算的结果：
反复运用上述定义，可以将并运算推广到有限个甚至无限个集合中去（其中 符号代表正无穷）：
某班参加学校运动会，总共有跑步和跳远两项，要求每个同学至少参加一项。
假设用集合 来表示参加跑步的同学，用集合 来表示参加跳远的同学。那么该班总共有多少同学？
A: B: C:“以上皆对”
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对于集合A、B，差运算（Relative Complement）被定义为：
用 Venn 图可以表示如下，其中阴影为运算的结果：
接上一节的题，用集合 来表示参加跑步的同学，用集合 来表示参加跳远的同学：
那么 表示的是：
A:只参加了跑步的同学
B:只参加了跳远的同学
C:两项运动都参加了的同学
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5.1 补运算
假如有全集 以及其子集 、 ，满足：
则称 为 的 （Complement），记作：
本课程中更多用 来表示补集，而在《高中数学人教版》中用的是 ，拉长的 C 以及 U 表示这是在全集 上的补集。
用 Venn 图可以表示如下，其中阴影为运算的结果：
5.2 互补
上面描述的补，反过来也是成立的：
所以 、 也可以称为 。
练习题1
假设以某班的全体同学作为全集 ，而 代表该班参加跳远的同学，那么 代表的是
A: 班上不参加跳远的同学 B: 班上参加跑步的同学 C: 以上皆对
练习题2
下列表示 正确的是：
A: B: C: D:
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数的基本运算“乘加减”有自己的性质，集合的基本运算“交并差”也一样，并且两者的性质还差不多，下面来看看。
6.1 类比
首先，让我们将“交并差”与“乘加减”进行类比：
其实很多书籍也会把“交并差”写作“乘加减”的形式，本课程也会在不误解的情况下，交叉使用这两种符号
6.2 基本运算的性质
按照上面这样类比的话，你会发现两种基本运算的性质差不多：
上表中用“乘加减”表示的性质既对数成立，也对集合成立。只有最后一条性质是集合独有的，所以单独用集合的运算符号来表示。
练习题1
上图中表达正确的是（多选题）
A: B:
练习题2
上图中表达正确的是（多选题）
A: B:
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7.1 德摩根定律
集合运算中有个德摩根定律（De Morgan's laws）需要介绍下，即：
下面来证明 ，假设：
可知，对于任意 有：
同理，对于任意 有：
德摩根定律用生活中的例子也很好理解，假设 代表“去跑步”， 代表“去跳远”， 表示“去跑步或跳远”，所以有：
7.2 Venn 图
也可以通过 Venn 图来理解德摩根定律，首先是第一个公式 ：
然后是第二个公式 ：
7.3 记忆方法
理解归理解，德摩根定律看上去还是有点复杂，可以通过下面方法来记忆，就是头顶上的帽子断开时，中间的符号要翻转：
德摩根定律拓展到多个事件上也是成立的，记忆方法也是一样的：
已知全集 ，以及集合 、 、 ，它们满足：
则 为：
A: B: C: 条件不足，无法计算