这道难题真有趣——学渣都能猜出答案，却连学霸也想不出解题思路

图1这道题非常有趣。首先是题干文字很简略，似乎没有太多条件，很符合人狠话不多的大Boss级难题的个性；其次是几乎每个人都能凭直觉猜出答案，可是却连学霸也难以理出合理的思路来证明所猜出的答案。

图1：题目内容

九叔也是费了好半天牛劲，理出了一个不算完美的解题思路，抛砖引玉，请各位参考参考。

我们首先要根据已知条件来推导一下，看看还有哪些线段的长度可以快速推导出来。这道题存在一个在正方形内相互垂直的交叉线，因此，充分利用十字架模型是理所当然的事。然后，我们还要利用ABH构成的等腰三角形来发现可以快速推导长度的线段。如图2所示，我们可以过A点做BG的垂线，并且快速地证明BJ=JE=CG=GK=AF=5。这样就为后续的计算打下了良好的基础。

图2：计算线段长度

相信一大半的同学都能计算出上述线段的长度，但是如何利用这些线段的长度推导出DK，FD的长度呢？很多同学推导到这一步就找不到继续往下做的路子了。

这个时候，我们就要充分利用十字架模型了——我们可以从K点做EF的垂线KL。我们可以很容易证明KL=EF，具体的证明步骤我就省略了。利用这个结论，再利用角EFK为45度的条件，我们就可以很容易地证明出三角形MEL与MFK一样，都是等腰直角三角形。这样就可以证明EL 与FK平行，进而我们可以利用角度关系证明三角形BEL与DFK相似（我这里也省了具体的证明步骤，相信这对各位而言毫无难度）。

图3：证明对应三角形相似

最后，我们就可以根据相似三角形的对应边的比例关系证明出正方形的边长，进而求出FK的长度，具体如图4所示：

图4：计算最终答案

这个方法可能不算很好，以至我不得不把一些比较容易理解的步骤省略以节省文章篇幅。这个思路只是提供给各位参考，以期能对各位找到更简捷的解法提供一些帮助。如果您有更高效的解法，敬请一定分享过来。

有个很直观的方法，但步骤有点多，但也因为直观，很好理解：

3条辅助线：FG,FB,BD,FG、BD交于O,

则三角形AFB 全等 CGB(ASA)。

(提示ABHF共圆，角AHF、ABF与同弧圆周角)

结论:BF=BG,DF=DG,角DFK=角DGB,

DFK相似于OBG,有DF/BO=DK/GO

设正方形边长c,AF=a,

会发现c=3a,

所以DF=2a,DK=a,

答案一目了然。

AB＝AH这个已知条件就是多余的。过点K作BG的平行线交FE于M，于L，因为KL⊥EF所以∠EFK＝∠FKL＝45°所以FM＝KM＝ML＝ME，……最后证得DK＝5，DF＝10，FK＝5✔5  (评论:：这个条件是必须的，否则FM 不一定等于ME的)

高中三角函数来解:

矩形内构造半角，相似三角形搞定，可以更简便！