【思路方法】初中数学“面积法”解题分析

本文摘自《初中数学典型题思路分析》附赠资料

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初中数学解题思路

初中数学思路方法大汇总 

——《初中数学典型题思路分析》附赠之一 . 

面积法是中学数学的一种重要方法,所谓面积法就是利用图形的面积关系,建立一个或几个关于图形面积的等式或不等式,然后通过推理、演算,以达到证题目的的一种方法.三角形面积是一个数量,通过三角形面积公式把面积、边、角之间关系互相沟通,以恰当的转换求解.应用面积法解题简洁、明了,面积法是解几何题的常用方法.

面积法的理论依据是面积公式,在△ABC中,约定三边长分别为a,b,c,h为边a上的高,r为内切圆半径,R为外接圆半径,则三角形的面积当问题涉及如下方面时,不妨用面积法尝试求解.

(1)两个全等形面积相等;

(2)一个图形的面积等于它的各部分面积之和;

(3)等(同)底等(同)高的两个三角形面积相等;

(4)等底(或等高)的两个三角形面积之比等于该底上的高(或对应底边)之比;

(5)与平行四边形同底同高的三角形的面积是平行四边形面积的一半.

面积法是中学数学中一种重要的证明方法.它在证明线段相等、角相等、不等关系、线段比例等方面都经常会用到.

【典型例题1】已知,如图,在△ABC中,AB=AC,P为底边BC 上任意一点,PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,求证:PD+PE是一个定值.

【思路分析】本题的关键是看到垂线,就可看作三角形的高,于是连接AP,过点C 作CF⊥AB于点F,再通过面积法即可求证.

【答案解析】

【典型例题2】如图,以直角三角形ABC的两直角边AC,BC为一边各向外侧作正方形ACDE,BCGH,连接BE,AH 分别交AC,BC于点P,Q.求证:CP=CQ.

【思路分析】本题两次利用了借助面积的等积变换,通过等底(高)等积的三角形对应高(底)相等来证线段等,往往能起到很好的效果,本题发现△AGQ 和△BPD 底相同,而又要证明等高,即CP=CQ,很容易想到要证明两个三角形面积相等即可得证,面积相等需要用等积变换来实现,本题是借助△ABC的面积当桥梁,使△ACH 和△BCE的面积都等于△ABC的面积,又可知△ACH 和△AGQ的面积相等,△BCE和△BPD 的面积也相等,进而得证.

【答案解析】

【典型例题3】如图,D是Rt△ABC直角边AC上任意一点,AE∥BC,DE=2AB,求证:∠ABC=3∠EBC.

【思路分析】

【答案解析】