【中考专题】一类“天桥型”线段最值问题的本源解法
以微课堂
公益课堂，奥数国家级教练
与四位特级教师联手执教。
线段最值问题是近几年中考题的热门，题目变化多、难度大，在实践过程中，许多老师也总结了多种解题妙招，如：瓜豆原理、利用运动变化构造等等。这些方法着实精妙，然而也有着很多弊端，如：对学生思维层次要求高，不容易理解掌握；还有就是在解答题中有些方法不便于书写表达。我想任何方法都要追寻到它的本源，任何题目也应该能找到解决它的本源方法。
解决线段最值问题，离不开两个本源知识：1.两点之间线段最短；2.垂线段最短。
本文列举几例“天桥型”线段（所谓天桥型就是目标线段横跨另一条线段，在此予以简称）最值问题的本源解法，：
【题1】如图，已知线段AB=12，点C在线段AB上，且△ACD是边长为4的等边三角形，以CD为边在其右侧作矩形CDEF，点G为DF中点，连接BG，求线段BG的最小值.
常见解法：
（法1）网红瓜豆原理：
显然，当BG与点G运动轨迹垂直时取得最小值。
此法甚好，若能掌握，解决填空、选择题不可谓不妙，但若是解答题，过程不好描述；
（法2）构造中位线
以上两种方法对学生的思维层次要求非常高。
往往解决一些问题其实利用我们学的基本知识学生最容易理解和掌握，未必要舍近求远，下面介绍第三种方法：
（法3）本源解法：拆两半+斜大于直
是不是简洁明了，耳目一新？
【题2】（2019年泰安）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是_______.
常见解法：
（法1）网红瓜豆原理：
由瓜豆原理可知，点P的轨迹是线段MN，所以当BP垂直于MN时，BP取得最小值，具体计算过程略。
（法2）构造中位线
上面两种构造中位线均可以解决，计算可以利用构造直角三角形，读者自行尝试，不再赘述.
（法3）本源解法：拆两半+斜大于直
以上两题都可以追寻本源方法予以解决，下面再留给读者一道思考题，用本源法试试看：
【题3】（苏州2018年第18题）如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形ABCD和菱形PBFE．点P，C，E在一条直线上，∠DAP=60O，M、N分别是对角线AC、BE的中点．当点P在段AB上移动时，点M、N之间的距离最短为_______．（结果保留根号）
由上面的例题不难看出，此法易懂、好操作，便于学生理解和掌握。当然，此法也并非通法，只不过我们今后遇到这种“天桥型”线段最值问题时，我们可以将这种本源法作为一种重要的解题策略。
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