压轴题打卡116：圆有关的综合问题

如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交⊙O的切线BE于点E，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）若DF=3，DE=2

①求BE/AD值；

②求图中阴影部分的面积．

参考答案：

考点分析：

相似三角形的判定与性质；勾股定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算；证明题；几何综合题．

题干分析：

（1）作辅助线，连接OD．根据切线的判定定理，只需证DF⊥OD即可；

（2）①连接BD．根据BE、DF两切线的性质证明△BDE∽△ABE；又由角平分线的性质、等腰三角形的两个底角相等求得△ABE∽△AFD，所以△BDE∽△AFD；最后由相似三角形的对应边成比例求得BE/AD=DE/DF=2/3；

②连接OC，交AD于G．由①，设BE=2x，则AD=3x．利用①中的△BDE∽△ABE的对应边成比例的性质求得BE/AE=DE/BE，据此列出关于x的方程，解方程求得x=2，继而可以求出AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8；然后由勾股定理知AB=4，在直角三角形ABE中求得∠1=30°；再由三角形的角平分线的性质、等腰三角形的性质及边角关系求得AG=DG，所以△ACG≌△DOG；最后根据两个全等三角形的面积相等的性质求扇形的面积即可．

解题反思：

本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理及扇形面积的计算．比较复杂，解答此题的关键是作出辅助线，利用数形结合解答。