费马点[费马点]

定义

1.若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120 °。所以三角形的费马点也称为三角形的 等角中心。

（托里拆利的解法中对这个点的描述是：对于每一个角都小于120°的三角形ABC的每一条边为底边，向外作正三角形，然后作这三个正三角形的外接圆。托里拆利指出这三个外接圆会有一个共同的交点，而这个交点就是所要求的点。这个点和当时已知的三角形特殊点都不一样。这个点因此也叫做托里拆利点。）

2.若三角形有一内角大于等于120 °，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。

相关计算

费马点

费马点

费马点

费马点

费马点

S为面积

尺规作图法

费马点

（1）根据定义，首先判断给定三角形的三个内角是否均小于120°.

1.以任意半径画圆0，并作出圆的一条直径AB。

2.以点A（或点B）为圆心，OA（或OB）为半径画出圆A（或圆B）

3.两圆相交于C点，联结AC，BC

4.则∠CBA或∠CAB为30°，∠C为90°，两角相加即为120°

（2）若大于等于120°，则该钝角顶点即为该三角形的费马点

费马点

（3）若三角形的三个角均小于120°，则继续做以下步骤

1.以三角形任意一边a向外做等边三角形

2.找出该等边三角形的外心，并作出外接圆

3.联结a边所对的两个顶点(连接AD)

4.该连线与外接圆交点即为该三角形的费马点

【步骤3证明】

1.如图，E，B，D，C 四点共圆，∠D=60°，所以∠BEC=180°-∠D=120°

2.弧BD所对的圆周角∠BED=∠BCD=60°，所以∠AEB=120°

向量表示

F为三角形ABC的费马点，O为任意一点，则

费马点

判定

费马点的计算

（1）对于任意三角形△ABC内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则取到最小值时E为费马点。

三角形费马点

法一：

如右图，在△ABC中，P为其中任意一点。连接AP，BP，得到△ABP。

以 点B为旋转中心，将 △ABP逆时针旋转 60°，得到△EBD

∵旋转60°，且BD=BP，

∴△DBP 为一个等边三角形

∴PB=PD

因此， PA+PB+PC=DE+PD+PC

由此可知当E、D、P、C 四点共线时， 为PA+PB+PC最小

若E、D、P共线时，

∵等边△DBP

∴∠EDB=120°

同理，若D、P、C共线时，则 ∠CPB=120°

∴P点为满足∠APB=∠BPC=∠APC=120° 的点。

法二：

如图，以△ABC三边为边向外作等边△ABD、△BCE、△ACF，

费马点

连接CD、BF、AE交于点O，试证：O是费马点。

证明：在△ACD、△ABF中，

AD=AB

∠DAC=∠BAF

AC=AF

∴△ACD≌△ABF(SAS)

∴∠ADC=∠ABF

∴A、B、O、D四点共圆。

∴∠AOB=120°。

同理可得，∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°。

过点A、B、C作OA、OB、OC的垂线交于三点R、S、T，易知△RST

是正三角形。

在△ABC内作异于O一点G，作RS、ST、RT的垂线GX、GY、GZ，连

接GA、GB、GC。

易用面积法得：OA+OB+OC=GX+GY+GZ。

∵点到线之间，垂线段最短，

∴OA+OB+OC=GX+GY+GZ<GA+GB+GC

∴点O是费马点。

四边形费马点

平面四边形中费马点证明相对于三角形中较为简易，也较容易研究。

（1）在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。

（2）在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点D（P）。

平面四边形费马点证明图形

经过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点的找法：当三角形有一个内角大于或等于120°的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120°以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120°的点。另一种更为简捷的证明 ：设O为三顶点连线最短点，以A为圆心AO为半径做圆P。将圆P视作一面镜子。显然O点应该为B出发的光线经过镜子到C的反射点（如果不是，反射点为O',就会有BO’+ CO' < BO+ CO，而AO’= AO，就会有 AO’+ BO’+ CO' < AO + BO + CO）。

不失一般性。O点对于B、C为圆心的镜子也成立。因此根据对称性AO、BO、CO之间夹角都是120°

（补充说明：AO、BO、CO是每个镜子的法线）

费马点

Ps:费马点是到三角形三个顶点距离的和最小的点；

而三角形的重心是到三角形三个顶点距离的平方和最小的点。

要有所区别

历史背景

皮耶·德·费马（Pierre de Fermat）是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家。之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作。他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为“费尔玛”（注意“玛”字）。费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个。

著名的数学史学家贝尔（E. T. Bell）在20世纪初所撰写的著作中，称皮耶·德·费马为”业余数学家之王“。贝尔深信，费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就，然而皮耶·德·费马并未在其他方面另有成就，本人也渐渐退出人们的视野，考虑到17世纪是杰出数学家活跃的世纪，因而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星。

费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为 托里拆利点或 斯坦纳点，相关的问题也被称作 费马-托里拆利-斯坦纳问题。这一问题的解决极大推动了联合数学的发展，在近代数学史上具有里程碑式的意义。