初中数学竞赛：等腰三角形（平移、构造、转换）

如图，在等腰△ABC中，已知顶角∠A=30°，在边AB、AC上分别取点Q、P，使得∠QPC=45°，且PQ=BC，证明：BC=CQ；

题目如上，有角度给出，所以很可能是要利用角的度数去证明。不得不说，竞赛题的难度要比同学们平时考试所谓的压轴题要难上一些。

过程与图形间隔稍微有点远了，同学们可以自己在纸上画一下图形，然后点对照过程去看。

首先BC=PQ，这两个线段怎么扯上关系呢?

平移构造图形，

所有辅助线一次性给同学们列出来了，

首先是过Q作QM//BC，且QM=BC，并连接MP、MC，

作QN⊥AC与N，

那么很明显QBCM为平行四边形，

∠A=30°，那么∠B=∠ACB=75°，

所以∠AQM=75°，

而∠QPC=45°，

所以∠AQP=15°，

那么∠PQM=60°，

又因为PQ=BC=QM，

所以△PQM为等边，

所以PM=PQ，

∠CPM=15°，∠PMC=60°+75°=135°=∠APQ，

所以△APQ≌△CMP，

那么AQ=PC，

在Rt△AQN中，QN=0.5AQ，

所以QN=0.5PC，

又QN⊥AC，

所以△PQC为等腰三角形，

所以∠PQC=90°，

所以∠CQB=75°=∠B，

∴BC=CQ；

这道题就是这样解决了，方法肯定是有点曲折的，老师也是在得到全等后想错了方向，耽误了几分钟时间，就是因为这些难题，才能让大家的思维越来越成熟，思考方向越来越全面，如果像平时大多数家长所说“我们孩子不用学那么难的内容，学会简单的就行”，这样的学生怎么可能会越来越聪明呢？

脑子就是用来思考的，学习如此，未来的工作同样如此，正所谓，不想变聪明的学生会有前途吗？