初中数学竞赛题:射影定理与十字相乘的运用
如图,已知AB为圆O的直径,C为圆周上一点,D为线段OB内一点(不是端点),满足CD⊥AB,DE⊥CO,垂足为E,若CE=10,且AD与DB的长均为正整数,求线段AD的长;
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假设半径为r,
根据射影定理可得CE·CO=CD²
即CD²=10r
如果再下一步则根据勾股定理得
OD²=r²-CD²=r²-10r=r(r-10)
可是没多大用处,
而我们要求的是AD,
题中给出的AD和DB是整数,
但是它们和OD有啥关系呢?
既然我们前面都用到了射影定理,别到这里就想不起来了,
CD²=AD·DB,
即AD·DB=10r,
而r 和AD、DB什么关系?
AD+DB=2r,
则AD·DB=5(AD+DB)
AD·DB-5(AD+DB)=0,
然后怎么玩呢?
AD和DB相乘和相加的形式,想起来什么呢?
十字相乘法,
缺一个25,就可以组成十字相乘了,
那么两边同时加25,
AD·DB-5(AD+DB)+25=25,
即(AD-5)(DB-5)=25,
现在问题来了,AD和DB肯定不相等,
所以AD-5和DB-5只能一个为25,一个为1了
根据条件可知只能AD-5=25,
所以AD=30;
如果这道题是一道填空题,那么到前面OD²那里可以使用凑数法很快确定OD=18,则AD也可以搞定;
但在解答过程中不能使用特殊值,只能按照过程一步一步求解,而能否想起射影定理和十字相乘法则是关键。
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