八下第5讲 分式方程含参问题全集——增根、无解、解有范围
● 写在前面
昨天早上，笔者群发了一条消息，“自公众号开创的近三年来，笔者发布了两百多篇原创文章，但从未上传过上课视频．今天，借区网课平台——梁溪名师在线，笔者录了一节课，内容是分式方程增根无解等含参问题，欢迎大家扫码观看，并指正！”
许多关注者收到消息后，扫描二维码，看了我的视频，给了笔者很大鼓励，现将上课视频与作业讲解视频二维码，以及“梁溪名师在线”平台的二维码分别发布在文中，如果你有兴趣，欢迎关注，3月19日的八年级数学哦．
其实，两年前，笔者已经写过相关专题《八下第五讲 学好《分式方程》，拿下中考计算》，本讲，我对其中容易出错的题再作一个归纳整理，可以说，几乎包含了所有相关问题，可谓是一个全集了！
一、问题提出
经常有同学搞不懂分式方程有增根和无解的区别，那么，我们先来看这样两个例子．
例1：
解分式方程
分析：
我们先尝试去分母，求解．
解：分式两边同乘3(x－2)得，
3(5x－4)＝4x＋10－3(x－2)，
x＝2．
x＝2是原方程的解吗？
不是！
当x＝2时，恰好使原分式方程中的最简公分母等于0，从而使分式方程无意义．这样的根就叫做原分式方程的增根．
那么，解分式方程产生增根的原因是什么呢？
其实是在解分式方程两边同乘最简公分母，即“去分母”时造成的，我们必须保证方程两边都乘(或除以)的是同一个不为0的数．
而当x＝2时，相当于原分式方程的两边都乘的数是0，那么变形前后的方程就不是同解方程了．说得再直观些，比如一个整式方程2x＝4，只有一个解，若两边同乘0，变成了0x＝0，则有无数解，它们不是同解方程．
由此可见，我们应该在解出分式方程后，必须检验！
经检验，x＝2是增根，原方程无解．
例2：
解分式方程
分析：
我们先尝试求解．
解：
两边同乘(x＋2)得，
x－1＝3－x＋2(x＋2)，
0x＝8．
什么情况？！不可能吧！
完全有可能，此方程化为整式方程后，本身就已无解，当然原分式方程肯定就无解了．
原方程无解．
由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根导致．
应该共包含两种情形：
(1)原方程去分母后的整式方程有解，但这个解使原方程的最简公分母为0，是原分式方程的增根，从而原方程无解．
(2)原方程去分母后的整式方程出现0x＝b(b≠0)的形式，此时整式方程无解，原方程也无解．
送一张图，让大家读懂增根无解的区别与联系．
增根可能会导致无解
无解未必由增根导致
二、典例剖析
01
有增根
Law
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例1： 分析： 本题中，k是参数，我们先把分式方程转化为整式方程，用k的代数式表示x，确定增根的值，则k的值可求． 解答： |
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例2： 分析： 由题意，可知最简公分母为(x＋2)(x－2)，则增根的值有2个，将其化成整式方程后，将两个增根的值分别代入含k的代数式中，求出k． 解答： |
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例3： 分析： 由题意，可知最简公分母为(x＋1)(x－1)，则基本方法与例2相同．但本题特别之处在于，求出k后，若不重新代入回原式中检验，会出现转化为整式方程就无解的情况，自然谈不上增根了，所以，需要特别注意．而例2其实也需要检验．这两题分开讲的目的，是为了提醒同学们！ 解答： |
02
无解
Law
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例1： 分析： 无解的问题，其实反而比有增根的题不容易错，因为我们反复强调，有两种情况(1)整式方程的解是增根(2)整式方程无解．因此，必须把两种情况都考虑在内． 解答： |
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例2： 分析： 与例1一样，两种情况，不过在考虑有增根的情况下，应该注意增根有两个． 解答： |
03
解有范围
Law
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例1： 分析： 显然，还是要先把分式方程转化为整式方程求解，用含参数的代数式表示未知数，根据解的范围，建立含参数的不等式，求出参数的范围．但这里尤其值得注意的是，未知数不能是增根，即用含参数的代数式表示的x的值不能等于增根的值． 解答： |
三、课后作业
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分析： 第1、3、6题，视频中已给出详细讲解， 具体可以扫码查看， 剩余2、4、5题答案如下． 解答： |
上讲思考题
以下为第四讲《八下第4讲 分式概念与运算易错辨析（上）》思考题答案