八上第17讲 《直角坐标系》典题大集合(上)

一、基本概念

例1： 已知P点坐标为(2a＋1，a－3)， ①点P在x轴上，则a＝___； ②点P在y轴上，则a＝___； ③点P在第三象限内，则a的取值范围是___； ④点P在第四象限内，则a的取值范围是___． ⑤点P在二四象限的角平分线上，则a＝___； ⑥点P到x轴，y轴的距离相等，则a＝___； 分析： ①点P在x轴上，则其纵坐标是0； ②点P在y轴上，则其横坐标是0； ③点P在第三象限内，则横坐标为负，纵坐标为负； ④点P在第四象限内，则横坐标为正，纵坐标为负； ⑤点P在二四象限的角平分线上，则横纵坐标互为相反数； ⑥点P到x轴，y轴的距离相等，则其纵坐标的绝对值等于横坐标的绝对值． 接下来只需要讨论两种情况，横纵坐标相等或横纵坐标互为相反数． 解答：

例2： 已知点P(－2，3)， ①点P到x轴的距离为_____； ②点P到y轴的距离为_____； ③点P到原点的距离为_____； ④点P关于x轴的对称点的坐标为_____； ⑤点P关于y轴的对称点的坐标为_____； ⑥点P关于原点对称的点的坐标为_____． 分析： ①点P到x轴的距离是它纵坐标的绝对值； ②点P到y轴的距离是它横坐标的绝对值； ③点P到原点的距离是它横纵坐标平方和的算术平方根； ④点P关于x轴的对称点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数； ⑤点P关于y轴的对称点的坐标，纵坐标不变，横坐标互为相反数； ⑥点P关于原点对称的点的坐标，横纵坐标都互为相反数． 解答：

例3： 已知点M(3，2)与点N(x，y)在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为5，试求点N的坐标． 分析： 平行于x轴的直线上的点，纵坐标都相同，点N到y轴的距离为5，则N横坐标的绝对值为5，问题迎刃而解． 解答：

例4： 已知点A(3，2)与点B(x，3x＋1)在同一条垂直于x轴的直线上，且点C是线段AB的中点，试写出点C的坐标． 分析： 点A与点B在垂直于x轴的直线上，则两点的连线平行于y轴，横坐标相同，可求出点B的坐标，点C的坐标可以直接利用中点坐标公式完成，其横坐标为点A、点B横坐标和的一半，纵坐标为点A、点B纵坐标和的一半． 解答：

二、平移 面积 周长

例1： 分析： 解答： 由题意得， a＝0＋1＝1，b＝0＋1＝1，a＋b＝2．

例2： 分析： 解答：

例3： 在同一直角坐标系中分别描出点A(－3，0)、B(2，0)、C(1，3)，再用线段将这三点首尾顺次连接起来，求△ABC的面积与周长． 分析： 建立平面直角坐标系将三个点描出来，利用距离公式，求得三边的长后即可计算周长，对于面积，由于本题中的AB在x轴上，不一定非要用割补法，可以用两点横坐标之差的绝对值来表示底，点C的纵坐标的绝对值表示高． 解答：

例4： 已知在平面直角坐标系中，A(0，1)，B(2，0)，C(4，3)． (1)求△ABC的面积． (2)设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标． 分析： (1)显然，用割补法就可以求面积． (2)首先，要找到所有符合题意的点P，我们不难发现，AB是两个三角形的公共边，因此可以作为底，则过点C作AB的平行线，与坐标轴有两个交点．此外，联想到中线有平分面积的作用，因此，可以将AB看作△APC的中线，倍长CB到点P，过点P再作AB的平行线，与坐标轴又有两个交点，共有4个交点． 方法详见笔者开篇之作： 《第一讲   《格点作图，面积计算》 易错专题》 对于x轴上的点P， 可以设坐标为(x，0)， 对于y轴上的点，可以设坐标为(0，y)， 用横坐标之差的绝对值， 或纵坐标之差的绝对值来表示线段长度！ 解答：

三、翻折、对称

例1： 已知点A(a＋2，4－b)与点B(2b＋3，2a)关于y轴对称，则ab＝______． 分析： 关于y轴对称，则两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．建立关于a，b的方程组即可． 解答：

例2： 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边长为4，把△OAB沿AB所在的直线翻折，点O落在点C处，求点C的坐标． 分析： 显然，要求点C的坐标，要过点C作x轴的垂线段CD，CD长度即为它纵坐标的值，由于是等边三角形翻折，因此，有特殊角60度，可知∠OCA的度数，从而可求∠CAD度数，AD，CD均可求． 解答：

例3： 分析： 解答： 法1： 法2： 验证：

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