相似形的综合运用(一)

知识考点：

会综合运用相似三角形的有关概念、定理解答有关问题。另外，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似的性质运用，是近几年中考的热点题型。

经典例题：

【例1】如图，已知，在边长为1的正方形ABCD的一边上取一点E，使4AE＝AD，从AB的中点F作HF⊥EC于H。

（1）求证：FH＝FA；

（2）求EH∶HC的值。

探索与创新：

【问题一】已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥ EC交AB于F，连结FC（AB＞AE）。

（1）△AEF与△EFC是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由。

（2）设AB＝kBC，是否存在这样的值，使得△AEF与△BFC相似，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由。

分析：（1）相似，如图延长FE与CD的延长线交于点G。在Rt△AEF与Rt△DEG中

∵E是AD的中点

∴AE＝ED，∠AEF＝∠DEG，∠A＝∠EDG

∴△AFE≌△DGE

∴E为FG的中点。

又CE⊥FG，∴FC＝GC

∴∠CFE＝∠G，∴∠AFE＝∠EFC，

又△AEF与△EFC均为直角三角形

∴△AEF∽△EFC。