质数与合数（七）

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是时候来一波真正的奥数题了！

前方高能预警，这章内容确实有可能引起不适！

我们来看看，就是小学的知识点，是怎么让99%的高中生都目瞪口呆的（保守估计）。

从1! 2! 3!……100!中去掉一个数，使得剩下的数的乘积构成一个完全平方数，请问，被去掉的数是哪个？

自然数后面跟个感叹号是一种运算，叫做阶乘，我们规定0！=1，其他自然数的阶乘就是从1开始连乘，一直乘到自己。

10!的阶乘是3628800.

所以这道题目硬做你就歇了吧。

你想一个个试，那真的是没门都没有啊。10！已经那么大了，还要把99个阶乘再乘起来。。。重复100次，找出不是完全平方数的那个，所以此路不通也。

看看，贼老师准备转弯了！

在这个题目中，关键字到底是谁？

我觉得就是完全平方数。

什么样的数是完全平方数呢？

或者说，完全平方数写出来应该是个什么样子呢？

毕竟我只要求背到前100的平方啊！

所以超过10000的数是不是完全平方数应该很难直接判断出来。

何况这么大的数字，我们肯定是不会直接运算出结果然后来判定啊。但是老贼这个问题问得有点没头没脑啊？完全平方数到底是个什么样子呢？

下面开始我的讲（hu）解（you）：

我们首先随便写一个完全平方数576，它是24的平方，24分解成质因数之后是2×2×2×3，而576=2×2×2×3×2×2×2×3，我们发现，576中任何一个质因数的个数都是24中的两倍！

也就是说，完全平方数就是能写成偶数个质因数乘积的形式！

此时题目就变成了1的阶乘一直乘到100的阶乘，去掉哪个阶乘，剩下的质因数的个数都是偶数个？

题目是不是简单了很多？！

说并没有的请出去！

明明就有啊！

我们只要把这些数凑成平方看看嘛！

1!×2!……100!=某数的平方乘上某个阶乘，那么我们能不能把平方先凑出来？

怎么凑？

100!和99!有什么关系？100!=99!×100，所以100!×99!=(99!)^2×100

于是，这个庞大的数我们可以扔掉所有的奇数阶乘对了，只剩下2×4×6……100这50个数的乘积了。

有没有可能从这个数里筛选出一个完全平方和阶乘的乘积呢？

我们又发现，这50个数都是偶数啊，于是我们把2都提取出来，就变成了2^50×1×2×……50=2^50×50!

所以该被扔掉的数就是50!.

当然，这道题出题人还算比较有良心的。

我们发现，这个数如果不是以100的阶乘结尾，任何一个以(4n)!结尾的数，都可以出这个题目，答案就是去掉(2n)!.

所以，题目想要出的难一些，方法实在是太多了。我一直强调，题目是做不完的，一定要抓住实质，而不是单单记住一个解法，那样的话不是王道。

或者这个题目我们也可以从几个小一点的数试验一下，从改变结尾的数为3！，4！，5！，我们发现，只有4！的时候我们可以删掉2！，那样的话变成3!×4!=144是完全平方，从而猜测是不是去掉(2n)!时候满足题意，这也是一种非常棒的猜测思路！

我们来看今天的习题：已知对任意的正整数n，我们都有公式：

求分数：

成最简分数后的分母是多少？

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