做一题,归一类,得一法(九)——利用函数的对称性,巧解函数题


一、题目呈现

【注明】以上是原参考解答,见到这个题,从做法上看,给我的第一印象是这个小题不小,这里面一定有某种性质可以利用,于是引起我的兴趣,我想,平行四边形有对称性(中心对称),那么函数必有一种对称性,循着这个想法,我便有了下面的解法,供参考,本解答已汇编到《高中数学试卷汇编群》6月压轴小题解析中。

【注明】此题来自《全国名校试题分享研讨群》,记得当时在群里看到这个题时,正在外面,不方便书写解题步骤,出于热心,我感觉此题是公切线问题,于是,给群友说出我的想法,“此题属于公切线,分别设切点,利用斜率相等、截距相等”这种常规解法,并附上一个类似题的解法,殊不知,群友也知道这个想法,但计算无法进行下去,过后不久,另一个群友给出解答,他利用了两个函数存在一种对称性,算是巧妙,可谓:“看得准,下手狠”,具体解法如下:

评注】此法很好地利用了两个函数的对称关系,处理起来简捷自然,解题本应如此。那么用常规思路能否进行下去呢?到家我尝试着做下出,便有如下解答:

二、知识归纳

三、方法再现

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