2020-2021英国数学奥林匹克 第一轮-中文翻译
A.填空题：每题5分
1.A和B两人轮流在黑板上写数.首先,A在黑板上写下间的整数.随后,B每次都写下A刚写的数的两倍, A每次都写下B刚写的数减去45所得的值. 一段时间后, 整数再次出现在了黑板上. 则可能的值为________.
2.某三角形的三边长分别为, 其周长为,面积为. 已知均为整数, 且, 则的所有可能的值为________.
3.将一个正方形纸张沿其对称轴折为原来的一半. 随后, 将所得图形再次沿新的对称轴折为原来的一半. 继续这一过程, 次折叠后, 就得到了个图形所组成的一个序列. 那么这样的序列可能有多少个呢?(将全等的图形视作同一图形,例如,＝时,有两个序列)
(1)＝时,有________个序列
(2)＝时,有________个序列
(3)＝时,有________个序列
4.已知字母表示十进制数字.在方程 中,给定,则的值分别为_______________________.
B.解答题：每题10分
5.已知 内接于圆 圆 与边 切于点 ,与再次相交于点,与直线再次相交于,且位于与之间 若证明
6.已知正整数为两个2的不同幂的和,且为两个不同的梅森素数的和. 求证:为两个互异的完全平方数的和.
注: 梅森素数是指, 可以表示为2的幂减一的素数.
7.两人在数轴上玩游戏.他们在数轴上放置了3个石头,其中一个放在处,一个放在处,另一个放在处,其中为介于间的整数.随后两人轮流按如下规则进行操作: 在每一步中, 可以选择最左边或者最右边的石头, 将其放置在另外两个石头之间的整数点处. 当3个石头的位置为3个连续的整数时, 游戏结束.若此时它们的位置和为奇数,则获胜,否则获胜.那么,n为哪些值时, B有必胜策略呢?
(1)A先行动.
(2)B先行动.
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老子在道德经中说：飘风不终朝，骤雨不终日。
这是什么意思呢？按我的理解，飘风和骤雨并不是常见的天气，应该说有一些反常。反常的东西，往往都不能持久，即使是大自然的伟力也是如此。其实不只是天气，在生活中到处都有这样的例子。我们学习数学竞赛，当然也不能免俗。如果逞一时之勇，疯狂刷题，投入大量时间学习，即使短时间内效果很好, 能持续多久呢？也许咬牙苦撑的话，能够持续整个高中生涯吧。但是到了大学，又该怎么办呢？人生很长，只有真正的热爱，才能持之以恒。希望大家更多地培养学生们的兴趣和思考的习惯, 所谓”从事于道者，道者同于道，德者同于德，失者同于失”。