每日一题366：一个综合最值、切平面、切线、投影线及点到直线距离的综合性问题求解
练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习366：记曲面 在区域 , , 上的最低点 处的切平面为 ，曲线
在点处的切线为 , 求点 到直线 在平面 上的投影 的距离 .
【注1】先自己思考，动手尝试探索一下解题思路与解题过程，写写解题步骤，然后再对照下面的答案！
【注2】每日一题参考解答思路一般不仅仅是为了解题，而重在分享、拓展思路，更多重在基本知识点的理解、掌握与应用！参考解答一般仅提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过公众号会话框或邮件以图片、或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
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练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习366：记曲面 在区域 , , 上的最低点 处的切平面为 ，曲线
在点处的切线为 , 求点 到直线 在平面 上的投影 的距离 .
【参考解答】：(1) 求最值点.
【思路一】改写曲面方程
则函数在 取到最小值，且 ，从而可知曲面的最低点的坐标就为.
【思路二】最低点 即为描述曲面的函数的 值最小，即求二元函数
的最小值点. 该问题的讨论可以分为两部分：
① 内的无条件极值问题. 令
得唯一驻点，且，则 .
② 边界上的有条件极值问题. 三条边界分别为
直接用降维法，将以上表达式代入二元函数，得
根据一元函数最值的求解方法，容易得三个函数的最小值分别为
与 比较可知函数 在点处取到极小值，也为最小值，即曲面的最低点的坐标就为 .
【注】 当然(2)也可以应用拉格朗日乘数法来求驻点，比较各驻点的函数值和图形尖点位置，即三条交线的交点位置对应的函数值的大小来确定最终的最小值.
(2) 求曲面在最低点的切平面. 令
得曲面上任意点 处的法向量为
代入点的坐标，得最低点 处的法向量为
故由平面的点法式方程得切平面方程为
即切平面方程为 .
(3) 求曲线的切线. 视 为 的函数，对曲线方程的两个等式两端关于 求导，则由复合函数求导法则，得
代入点 的坐标，得
解得. 故切向量为
故由直线的标准式方程得曲线在 点处的切线 的方程为
【注】 曲线的切线也为两个曲面在指定点处的两个切平面的交线. 依据(1)的思路与方法，可知两曲面在 点处的法向量分别为
故得过 的两个切平面方程分别为
整理即得切线的一般式方程为
由此也可得切线的方向向量为
(4) 求直线 在平面 上的投影 . 直线 到平面 的投影即过直线 且垂直于平面 的平面 与平面 的交线. 由(3)得到的直线 的一般式方程，可得过直线 的平面束方程为
该平面的法向量为
且. 由两平面垂直，知
解得. 代入平面束方程得平面 的方程为
即投影线 的方程为
(5) 求点到直线的距离. 改写由(4)得到的直线 的方程可得直线 的参数式方程与对称式方程，即
即该直线方向向量为 且过点 ，则由点到直线的距离计算公式，可得 到直线 的距离为
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