第6招：借鸡生蛋-同构函数解决指对混合问题

第6招：借鸡生蛋 - 同构函数解决指对混合问题

在解决指对混合问题时,如恒成立求参数取值范围或证明不等式,利用同构法解题可以避免一些复杂的计算,带来极大的便利.在能成立或恒成立命题中,有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的,如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数),无疑大大加快了解决问题的速度.找到这个函数模型的方法,我们称为同构法.

例如:若

能等价变形为

,然后利用

的单调性,若递增,再转化为

,这种方法我们就可以称为同构不等式(等号成立时,称为同构方程),简称同构法.

1.五个常见变形:

,

,

,

,

2.三种基本形式:

积型:

说明:在对“积型”同构时,取对数是最快捷的,同构出的函数,单调性一看便知.

商型:

和差型:

(2020·新高考Ⅰ卷)已知函数

.

(1)当

时,求曲线

在点

处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.

(2)若

,求

的取值范围.

【答案】见解析

【解析】(1)当

时,

,

所以

,所以

,

又

,则

在点

处的切线方程为

,即

,

令

,则

;令

,则

,

故该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为

.

(2)法一:因为

,所以

,

所以

,所以

,所以

,故

,

令

,则上式转化为

又

,所以

在

单调递增,

由

可知总有

,则

,令

,则

,

所以当

时,

,此时

单调递增,

当

时,

,此时

单调递减,

所以

,所以

,即实数

的取值范围为

.

法二:因为

,所以

,

所以

,所以

,

所以

,

而函数

为增函数,所以

,所以

,

令

,则

,

所以当

时,

,此时

单调递增,

当

时,

,此时

单调递减,

所以

,所以

,所以

,即实数

的取值范围为

.

1.设实数

,若对任意的

,不等式

恒成立,则实数

的取值范围为__________.

2.(2021届“3+3+3”备考诊断)已知函数

.

(1)求函数

的最小值;

(2)已知实数

,

为自然对数的底数,若

在

上恒成立,求实数

的取值范围.

3.(扬州市2021届高三适应性考)已知函数

,(其中

为参数).

(1)若

,且直线

与

的图象相切,求实数

的值;

(2)若对任意

,不等式

成立,求正实数

的取值范围.