八上几何巧用四边形外角的性质解题

先看试题：

1、如图，已知AB=AC，BE=DC，BD=CF，则∠A和∠α的关系是_________

2、如图，D、E分别为AB、AC上一点，DG平分∠BDF，EG平分∠CEF，已知∠A=40°，∠G=30°，则∠DFE=________

常规方法

这两道题如果用常规方法来解是比较复杂的，尤其是第2题。

1、解题思路，分别把∠A、∠α用相同的角来表示，进而得到∠A与∠α的关系。

∠A=180°-∠B-∠C=180°-2∠B，

∠α=180°-∠BDE-∠CDF=180°-∠BDE-∠BED=∠B

∴∠A=180°-2∠α

2、解题思路：利用四边形内角和、平角、角平分线求解。在四边形AEGD中，∠ADG+∠AEG=360°-∠A-∠G=290°，∠BDG+∠CEG=360°-∠ADG-∠AEG=70°，∠BDF+∠CEF=2（∠BDG+∠CEG）=140°，∠ADF+∠AEF=360°-（∠BDF+∠CEF）=220°，∠DFE=360°-∠A-∠ADF-∠AEF=100°

利用四边形外角的性质

四边形外角的性质：四边形的两个外角之和等于与它们不相邻的两个内角的和。

无论是相邻还是不相邻的外角，结论都成立，用四边形内角和与平角可以很容易证明。

1、由四边形外角的性质，可得 ∠BED+∠CFD=∠A+∠α，

由全等三角形及平角定义，可得 ∠BED+∠CFD+∠α=180°，

∴∠A+∠α=180°-∠α，∠A=180°-2∠α（也可以写成其它等价形式）

2、由四边形AEGD的外角性质，可得 ∠BDG+∠CEG=∠A+∠G=70°

由角平分线定义，可得 ∠BDF+∠CEF=140°

由四边形AEFD的外角性质，可得 ∠DFE=∠BDF+∠CEF-∠A=140°-40°=100°

也可利用飞镖模型，∠DFE=∠FDG+∠FEG+∠G=70°+30°=100°

本题结论：∠F=∠A+2∠G，也可以写成 ∠G=1/2∠F-1/2∠A，三角形外角平分线的夹角可看作后者的特殊情况