【点评】方法本质:基于高相同,把面积相等转化为长度相等,问题的关键是对两条隔开的线段相等如何处理,《解析几何的系统性突破》用 13 页处理各种距离问题,此类问题属于
二、(二)不共点但共线的距离相等
【点评 2】极值点的个数问题就是导函数的零点问题,对于这样一个基本问题,我们知晓处理的基本方法,从而快速破解。我们再来欣赏《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》的一篇文章:
12. 高观点下的基础观 2——基本问题的理解和研究
我们迫切地需要在学生的“四基”——基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验上增加“基本问题的理解和研究”,希望学生在基本问题的理解和研究中,找到通性通法,发展“四基”,进而还能提出一些基本问题,做进一步研究。很多科学重大突破就是对基本问题的重新认知。除了高考中的解析几何都是在解决几何中最基本的一些问题——长度、夹角(平行垂直)、面积等,即使是关于导数的难题都可以转化为一些基本问题——零点问题、不等式恒成立问题、恒成立求参数范围问题。总结出一些基本问题和基本结构,寻找一般处理方式,即通性通法。善于把难题转化为基本问题,是破解压轴题的有效方法。在解题的不同阶段,追问现在是一个什么基本问题,这把解题的推理活动和对问题的认知活动结合在一起,还强化了学生的观察意识。只有推理、只有代数变形,我们会迷乱,而认知活动,对基本问题的认知,追问处理这个基本问题的基本方法(即通性通法),形成看问题的基本观点,为推理和变形指明了方向,这样的追问将思维带来质的飞跃。
【点评】整个问题中,导函数的零点问题和相关变量的处理都是基本问题,而这一问题的解决是整个复杂问题的关键。
【科学中感悟】
的出现突出了使所有希腊数学家迫切想解决的一个难点:离散与连续的关系。整数代表离散的对象,长度、面积、体积、时间和其它一些量是连续量。当时的人们对空间和时间有两种对立的看法:一种认为空间和时间无限可分,那样的话运动是连续而又平顺的;另一种认为空间和时间是由可分的小段组成(像放电影那样),那样的话运动将是一连串的小跳动。芝诺提出了 4 个悖论,第一个悖论叫“二分法”,任何物体要想由 A 点运动到 B 点,必须首先到达 AB 的中点 C,要达到 C 点,又必须达到 AC 的中点 D,这样的二分过程可以无限进行下去。换言之,若设空间无限可分,从而有限长度含无限多的点,这就不可能在有限时间内通过有限长度。第三个悖论叫“飞矢不动”,是针对“影片式运动”而
言的,假定时间是由瞬刻组成的,那么箭在运动的任一瞬刻必在一确定位置因而是静止的,所以箭不能出去运动状态。
经典力学总结了低速物体的运动规律,它反映了牛顿的绝对时空观,绝对时空观认为时间和空间是两个独立的观念,彼此之间没有联系,分别具有绝对性。绝对时空观认为时间和空间的度量与惯性参考系的运动状态无关,即同样两点的距离和同样前后两个事件的时间,无论在那个惯性系中测量都是一样的。将时间、空间和物质运动重新联系在一起来,特别是从测度的角度看,时间与空间不再是独立不依的两个东西,而是相互不可分割的统一体中的两个方面,闵可夫斯基发展了这一思想,将时间和空间结合在一起,组成时—空概念。世界不再像传统观念认为的,是三维空间中的物质客体在一维时间之中演化,相反,世界本身就是一个四维空—时流形,是一个整块宇宙。我们在每一时刻所经验到的世界,只是思维连续统中的某一剖面或切片。世界就像一盘电影胶片,只不过它将其图片一幅幅地向我们展示。爱因斯坦的狭义和广义相对论革新了物理科学的基本概念框架,世界的图景变成了“时空—场—物质—流形”。以牛顿、爱因斯坦为代表的古典数理科学倾向于否定时间的真实性,它对待时间之矢的态度是,时间的方向性、过去和未来的不对称性,只是一种与人类这个特有物种相关的幻觉。霍金的时间完全是坐标时间,时间的方向性在他那里并不重要,他的宇宙模型建立在虚时间基础之上,而虚时间是对坐标时间的进一步坐标化,因而完全是非时间性的。混沌学已经展示了世界图景即将面临的革命性变化。这其中最重要的革命因素是确立了 “开放的未来”的概念。在牛顿的钟表式宇宙图景中,未来与过去一样已然预定。而混沌显示,未来是纯粹的“未定”。开放未来的概念真正揭示了时间之矢的本质。
