2021全国卷数学高考考查特点 2—问题普遍性的研究

——数学的真正划分不是分成几何和算术，而是普遍和特殊的（James Gregory）今年高考试题变化最大的特点之一，就是把很多以前具体例子的考查变成了一般性问题的研究，高考试题如何体现？这样的价值何在？如何导向教学？我们该如何应对？

一、突出对问题普遍性的研究，注重通性通法

用符号表示的题目更多，易中难均有涉及，突出对问题普遍性的研究，注重通性通法。

【点评】通过考查对一般问题及方法，需要考生寻找对应研究问题的基本方法。

【点评】最后一个压轴题给出了一个两个基本初等函数构成的函数的零点问题，题目非常简洁，但是是一个一般性问题的研究。

【解析】三条直线地位对等，都是抛物线上两点连线的方程，结构上具有一致性。

【点评】A1 ， A2 ， A3 是 C 上的任意三个点，对运算求解能力提出了更高的要求。抛物线中弦所在直线方程应该是视为这个问题基本且核心的要素，故找到其一般的表达式是第一步，相切，就会得到等量关系，把切点视为未知数，则有方程，多个切点，就会想到同一个方程有多个根。

二、结论的一般性需要对问题进行定性分析，对研究的各方面进行整合

三、从特殊到一般，从一般看特殊

【点评】用函数观点比较函数值大小，这是从一般看特殊。

【从数学史来看】摘自《古今数学思想》（微积分的创立）：在速度—时间的图形下的面积就是距离。因为距离的变化率必定是速度，所以如果把面积看做是求和，它的变化率必定是面积函数的导数。但是 Torricelli 没有看到普遍的情况。费马同样也只在特殊的例子中指导了面积和导数间的关系，没有体会到它的一般性或重要性……

实际上在牛顿和莱布尼茨作出他们的冲刺以前，微积分的大量知识已经积累起来了，甚至在 Barrow 的一本书里，就能看到求切线的方法，两个函数的积和商的微分定理，x 的幂的微分，求曲线的长度，定积分中的变量代换，甚至还有隐函数的微分定理，虽然在 Barrow那儿，几何的表达使得普遍思想难于辨识，但在 Wallis 的《无穷的算术》中，可与之相比较的结果，是用代数的形式表达的。

人们于是惊问，在主要的新结果方面，还有什么有待于发现呢？问题的回答是方法的较大的普遍性以及在特殊问题里建立起来的东西中认识其普遍性。这世纪的前三分之二的时间里，微积分的工作沉没在细节里。另外，许多人在通过几何来获得严密性的的努力中，没有去利用或者探索新的代数和坐标几何中蕴含的东西，作用不大的细微末节的推理使他们精疲力竭了。最终能培育出必要洞察力和高度概括力的费马，圣文森特的 Gregory 和 Wallis 的算术工作，而 Hobbes 批评他们用符号代替几何，James Gregory 在《几何的通用部分》的序言中说，数学的真正划分不是几何和算术，而是分成普遍的和特殊的。这普遍的东西是由两个包罗万象的思想家牛顿和莱布尼茨提供的。

【哲学阐述】普遍性寓于特殊性之中，即任何事物既有个性，又有共性，既要考察它的一般性，又要考察其特殊性。比如要了解一个人，既要洞悉人性，又要洞悉人心，是人皆有人性，对人性指导我们对这个人哪些方面进行考量，但这不足以把这个人研究清楚，还要了解这个人的心，了解这个人的特殊背景和性格的形成等等，学习亦是如此。

【数学教学中的理解】数学的知识常常就是在一般化和特殊化中不断地生成与发展，比如：