音律与数学·丝弦乐器
音乐的形成最早是来自于生活和生产活动，比如说吆喝，呼唤，直到发展为某种固定的旋律，这就上升到了理论的高度。显然，音乐发展到了使用乐器来表达的阶段时，必然遭遇一个难题，那就是乐器的构造和发声的问题。
举弦乐器为例，如古琴，当琴弦的长度和粗细程度、松紧度不一样的时候，发出音响和音频都是不一样的。这就需要有一个严格的数字理论，来控制构造和发声的关系。如果弦的材质、粗细和松紧度都一样的话，那么不同的长度将产生不同的音响。一般来讲，越长的弦发出的声音越低沉。这是因为弦越长的话，它被弹动时引起的振幅越小，根据弦振动理论我们知道，该弦的传播速度越慢，它的动能也就越少，那么被转化成声音的能量也就越少，发出的声音也就越低沉。
西元前550年左右，古希腊Pythagoras（毕达哥拉斯）学派认为，世界是严整的宇宙，整个天体就是和谐与数。现代的学者都认为，正是这个学派研究音乐时最早使用了数学。Pythagoras学派认为两根同样材质同样粗细的弦，如果绷的松紧度一样的话，那么当长度之比为1:2时，两弦相差8度音；当长度之比为2:3时，两弦相差5度音；当长度之比为3:4时，两弦相差4度音，等等。
不过把Pythagoras学派当成是最早用数学来研究音乐的这种说法有点欠妥。西元前1050年左右，据说周文王被纣王困在羑里的时候，为了打发时间，做了两件事。一是把伏羲八卦演变到了八八六十四卦，另一则是把五弦琴发展到了七弦琴。那时的五弦对应着五音，即宫商角徵羽，对应着我们现在简谱里的3 5 6 1 2。
推广到七弦也就意味着把1 2 3 5 6推广到了1 2 3 4 5 6 7。至于后来荆柯渡易水去刺杀秦王时，高渐离击筑以相送，发变徵之声，这已经是800多年后的事了。
如果周文王不懂音乐和算术的关系的话，他就不能完成古琴结构的改造，而周文王的得心应手也正说明了他深谙算术之道。如果真是这样的话，那么他在毕达哥拉斯学派500年前就深刻地掌握了音乐和算术的和谐美。
中国古代所谓的正史所记载的大多是军国大事、外交、礼仪之类的，所以周文王的智慧和贡献只能见诸于小说家言一点也不奇怪。比如说唐玄宗时的《霓裳羽衣曲》、《秋水长天曲》等，正史中也不会去记录它们的乐谱，那么这些风靡一时的名曲的失传也就不是什么不可能的了。
当琴弦的长度都一样或几乎一样的时候，为了达到不同的音高，对于同样松紧度的弦来说，可以通过改变它们的粗细程度或材质来做到，比如说吉他；而对于同样粗细和材质的弦来说，可以通过设置不同的松紧度来做到，如小提琴，琵琶等。这时，弦的截面半径占据着重要的地位。
以吉他为例，若采取弹奏时所持的姿势，六根弦从下往上排列，半径是严格单调递增的。只要你现场听过吉他演奏，你就知道从下往上弦的声音越来越低。按通常的一种调弦规则，第一弦(即最下面那根弦)比第二弦高三度半音。数学告诉我们，当弦的截面半径越大，也就是它越粗的时候，它能被激起的振幅就越小(可以想象下抖动一根细铁丝和一根粗钢筋的情形)，那么根据弦振动理论，它能被转化为声音的动能就越少，因此声音越低沉。
现在让我们来为弦乐器发音的数学原理建立一个数学模型。考虑两端拉紧的有弹性的吉他弦的微小振动，由于弹奏手法的不同，弦振动的区域大不一样。为了简化成数学模型，这里只讨论微小横振动，即弦的运动发生在一个平面内，且弦上各点的位移与弦的平衡位置(即未弹奏时的初始状态)垂直。对于单弦指法来说，这是完全可以做到的。
以下因为数学公式有点多，另外编辑了贴图吧。