故事数学（一）
韩信分油
汉朝初期的军事家韩信，淮阴人。他是一位智勇双全的杰出将领，辅助刘邦打败楚霸王项羽，为刘邦夺取天下，建立汉朝立下了不朽的功勋。
韩信虽是一位有名的大元帅，小时候却家境贫寒，吃顿饱饭都是难上加难，周围的人都瞧不起他，甚至有人喜欢欺负他。后来，人们发现韩信很聪明，便逐渐改变了对他的看法。
韩信从小聪明，遇事爱动脑筋，常帮人们解决问题。民间一直流传着一些韩信帮人出谋划策，解决生活疑难的故事，韩信分油就是其中的一例。
一天中午，韩信骑马走在路上，看见两个人正在路边为分油发愁。这两个人有一只容量10斤（1斤=500克）的油篓，里面装满了油；还有一只空的瓦罐和一只空的葫芦。他们想把这十斤油平均分给两个人，各得五斤油，但没有秤。
他们知道瓦罐装满正好是7斤油，葫芦装满正好是3斤油，没有正好装5斤油的容器。又因为没有带秤，只有手头的三个容器，要把这10斤油平均分，他们不知道怎样才能准确地分出两个5斤油。
韩信骑在马上，听说了情况以后，只说了一句：“葫芦归罐罐归篓。”说完，打马就走。
两个人按照韩信的办法倒来倒去，果然把油平均分成两份。每人5斤，高高兴兴地各自回家去。
究竟是怎样倒来倒去的呢？
可能你知道韩信所说的“葫芦归罐”，是指把葫芦里的油往瓦罐里注入；“罐归篓”是指把瓦罐里的油往油篓里注入。
通常我们把油从大容器往小容器里去称作“倒”，如果是把小容器里的油往大容器里去，就称为“归”。
往葫芦里倒油，只能得到3斤的油量；把葫芦里的油往瓦罐里“归”，“归”到第三次，葫芦里就出现剩下2斤的油量。
再把满满一瓦罐油“归”到篓里，空出瓦罐后把葫芦里的2斤油“归”到空瓦罐里；最后再倒一葫芦油，正好3斤，将其“归”到瓦罐里，瓦罐里此时正好5斤油，油篓里剩下的也是5斤油。这样，就完成分油任务了。
具体步骤如下：
第一步：先把葫芦里装满3斤油，再倒进空的瓦罐中。这样连续操作三次，第三次就只能往瓦罐里倒进去1斤油了。这时瓦罐里装满了７斤油，葫芦里还剩２斤油，油篓里是1斤油。
第二步：把瓦罐中的7斤油倒入油篓中，再把葫芦里的油倒入瓦罐中。现在葫芦里是空的了，瓦罐里有２斤油，油篓中是8斤油。
第三步，又把葫芦里装满3斤油，再倒进已装着２斤油的瓦罐中。瓦罐中就有5斤油了，油篓中正好也是5斤油。
这样倒来倒去，分三步，共10次操作。三种容器各自装油斤数的变化过程，可从下面的表中看出：
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操作 步骤 |
油篓 （10斤） |
瓦罐 （7斤） |
葫芦 （3斤） |
需要的重量 |
|
最开始 |
10 |
0 |
0 |
|
|
一 |
7 |
0 |
3 |
|
|
二 |
7 |
3 |
0 |
|
|
三 |
4 |
3 |
3 |
|
|
四 |
4 |
6 |
0 |
|
|
五 |
1 |
6 |
3 |
|
|
六 |
1 |
7 |
2 |
2 |
|
七 |
8 |
0 |
2 |
|
|
八 |
8 |
2 |
0 |
|
|
九 |
5 |
2 |
3 |
5 |
|
十 |
5 |
5 |
0 |
上述的方法是用“3+2=5”的思路，如果用“7-2=5”的思路也是可以的。
具体操作步骤如下：
方法二（罐入葫芦再归篓）：
第一步：先把瓦罐里装满７斤油，油篓里剩3斤油。再把瓦罐中的油倒入葫芦，葫芦装满３斤油时，把葫芦里的油归入油篓。这样，连续两次后，瓦罐里还剩１斤油。油篓中是9斤油。
第二步：先把瓦罐中的1斤油倒入葫芦，葫芦里还有两斤油的空缺。再把油篓中的油倒入瓦罐至瓦罐装满。这时，油篓中剩2斤油，瓦罐里是7斤油，葫芦里只有1斤油。
第三步：把瓦罐里的油倒一部分进葫芦至葫芦满，正好葫芦里有了3斤油；瓦罐中倒出2斤油后就只剩下５斤油了。葫芦里的三斤油归入油篓，油篓中也是5斤油。瓦罐和油篓各是5斤油，分油结束。
用“7-2=5”的思路，分三步共9次操作。三种容器各自装油斤数的变化过程，如下表：
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操作 步骤 |
油篓 （10斤） |
瓦罐 （7斤） |
葫芦 （3斤） |
需要的重量 |
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最开始 |
10 |
0 |
0 |
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一 |
3 |
7 |
0 |
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二 |
3 |
4 |
3 |
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三 |
6 |
4 |
0 |
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四 |
6 |
1 |
3 |
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五 |
9 |
1 |
0 |
1 |
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六 |
9 |
0 |
1 |
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七 |
2 |
7 |
1 |
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|
八 |
2 |
5 |
3 |
5 |
|
九 |
5 |
5 |
0 |
用数学知识解决生活中的疑难题，是不是很提神醒脑！
上述两种方法，你觉得哪种方法更省事方便呢？
韩信虽然只说了其中的一种方法，但他骑在马上，立马就可以解决问题的思维速度，足见韩信的脑子十分灵活。
关于大脑灵活，这里还介绍几个与数学有关的生活故事。
延伸阅读
聪明的三媳妇
有一户人家，户主有三个儿子和三个儿媳。公公婆婆觉得自己年事已高，想选一个聪明的媳妇当家管事，选谁呢？
老翁想了一个办法，他要考一考三个儿媳，看看谁最聪明。
老翁喊来三个儿媳，对她们说：我年纪大了，没精力当家管事了，你们谁愿意当家管事，就要能吃苦耐劳，把这个家管理好。这几天，你们先回娘家休息几天，考虑一下如何当好这个家，想好了回来告诉我。我再根据你们的想法决定谁来当家。大媳妇，你回娘家住三五天就回来；二媳妇，你回娘家住七八天吧；三媳妇，你回娘家住半个月了再回来。为了公平起见，你们三个必须同时出门往娘家去，同时从娘家回来进门回房；还必须按我说的天数，各自在娘家既不能多住一天，也不能少住一天。谁违反了这两条，家法伺候，更不可能当家管事了。”
老翁说完就进自己房间了。三个儿媳听后，心情各异。
大媳妇起先很开心，觉得公公还知道体谅儿媳，给安排“探亲”假，还给自己安排了几天的时间，可以在娘家好好住几天了。当听到后面的“二媳妇”“七八天”、“三媳妇”“半个月”时就不高兴了，这长幼有别是这样的区别啊，也太不公正了。再听到“必须同时出门”、“同时进门回房”时就犯难了！这不是刁难人吗，明摆着整治我啊，我怎么能与她们同时去同时回来呢？
二媳妇更莫名其妙，不知道是与大嫂同时回来正确，还是与三嫂同时回来合适，相差的天数在那里住。
只有三媳妇开开心心地收拾东西，准备出门回娘家了。大媳妇和二媳妇只好赶紧收拾衣物，紧跟三媳妇出门去。路上大嫂和二嫂都说公公偏心，给三嫂的时间最长；同时她们也不理解三媳妇为什么那么开心，为什么不担心不能与大嫂二嫂同时往返而发愁？
三媳妇故意半遮半掩地说：“公公说得很清楚了，你们在愁什么？”
大嫂二嫂只好甘拜下风地央求三嫂：“我们究竟在娘家住几天才能保证同时回来啊？”
三媳妇说：“你们都在娘家住十五天，然后在这里等我。”
大嫂二嫂并不理解，但也没有别的办法，只好按照三嫂说的天数，都在娘家住了十五天。
十五天后，大嫂二嫂都已从娘家返回到达预约地。没一会儿，三嫂也到来，她们仨同时回屋向公公禀报。
公公却责问大嫂和二嫂：“你们为什么今天才回来？”
大嫂、二嫂只得如实说：“是三妹让我们今天回来的。”
公公又故意大声斥责三嫂：“你为什么不让她们在娘家按我说的天数住？”
三媳妇回复公公道：“我正是按照您说的天数告知她们的。三个五加起来是十五；七加八等于十五。'三五天’和'七八天’都是十五天，半个月正好也是十五天，所以，我们按照您说的天数都在娘家住了十五天。”
公公又问大嫂：“你对'当家’有什么想法？”大嫂心有余悸地说：“我觉得自己能力不够，不能胜任。”
公公又问二媳妇同样的问题，二嫂也如大嫂一样觉得自己胜任不了这份差事。公公便很顺利地把当家管事的权力移交给了三媳妇。
聪明的三媳妇当家管事，不仅有公公婆婆的赏赐，也得到了大嫂二嫂的真心拥护和支持。
智叟分牛
古印度民间流传着这样一个故事：
一个农民的全部家当就是19头牛。临终前，他嘱咐三个儿子说：“我死后，你们把家里的19头牛分了吧。老大得一半，老二得四分之一，老三得五分之一；把牛整头整头地分，千万不要把牛宰杀分肉，也不要留剩余，19头牛按我说的份额全部分给你们。如果你们不知道怎么分配，就请邻居智叟大叔帮忙主持分配吧。”
三个儿子安葬了父亲后，第一件事就是分牛。可他们怎么也算不出大儿子的二分之一、二儿子的四分之一和小儿子的五分之一分别是几头牛。
在不伤害牛的情况下，他们无法分出二分之一、四分之一和五分之一。三个儿子花了两天时间都没有算出分别按份额分得的整头的牛数，也没有想出合适的办法，只得去请邻居智叟大叔。
智叟大叔听明白了老人要分牛的问题和要求后，对老人的三个儿子说：“这个好办，我家里正好有一头牛，我把这头牛牵去帮你们分吧。”。
于是，智叟带了自己家的一头牛，到了三个儿子的家里。他把自己的那头牛和老人留下的牛放在一起，这样牛的总数变成了20头。然后，他说：“现在开始分牛了。这里有20头牛，它们的二分之一是10头牛、四分之一是5头牛，五分之一是4头牛。三个儿子看着面前的20头牛，听见智叟大叔宣布的分配头数，各自牵走了自己的牛。最后，正好剩下了智叟大叔的那头牛。分牛顺利完成。智叟带着自己的一头牛回家了。
这种办法我们称为“借牛法”。
方法一：借牛法
借给三兄弟1头牛，此时牛有20头，老大分得1/2，即10头牛；老二分得1/4，即5头牛；老三分得1/5，即4头牛，三者相加为19头牛，正好按要求分配。
算理：
1/2+1/4+1/5=10/20+5/20+5/20=19/20
而19/20<20/20，或者说19/20<1，
说明老人说的1/2、1/4和1/5这三个分数的单位“1”不是19头牛，而是20头牛。
当然必须借一头牛，有了正确的单位“1”才能按照分数值进行分配。
方法二：计算法
大儿子分得二分之一，二儿子分得四分之一，小儿子分得五分之一，可以看成他们的分配份额比如下：
大儿子∶二儿子∶小儿子
= 1/2∶1/4∶1/5
= 10∶5∶4
10+5+4=19
因此，三个儿子分得牛的头数为：
大儿子分得19头牛的19分之10，
就是：19×10/19=10
二儿子分得19头牛的19分之5，
就是：：19×5/19= 5
小儿子分得19头牛的19分之4，
就是：：19×4/19= 4
所以，按照老人的遗愿，老大得一半，老二得四分之一，老三得五分之一，那么，19头牛分配给三个儿子分别是10头牛、5头牛和4头牛。
花拉子密的遗嘱
阿拉伯数学家花拉子密在他的妻子正怀着他们的第一胎孩子时立下遗嘱：
“如果我亲爱的妻子帮我生个儿子，我的儿子将继承三分之二的遗产，我的妻子将得三分之一;如果是生个女儿，我的妻子将继承三分之二的遗产，我的女儿将得三分之一。”
而不幸的是，在孩子出生前，这位数学家就去世了。
之后发生的事更是困扰大家，他的妻子意外地帮他生了一对龙凤胎。他的遗嘱内容并没有说明双胞胎的继承份额，大家不知道怎样分配他的遗产。
如何遵照数学家的遗嘱，将遗产分给他的妻子、儿子、女儿呢?
方案一
有人回答：妻子2/7，儿子4/7，女儿1/7。理由是按遗嘱内容，儿子的遗产是妻子的两倍，女儿的遗产是妻子的一半。那么，妻子儿女分得遗产的比例为：
儿子∶妻子∶女儿 = 4∶2∶1
按这个比例计算，他们的遗产份额分别为：妻子是总数的2/7，儿子是总数的4/7，女儿是总数的1/7
方案二
还有人回答：妻子1/2，儿子1/3,女儿1/6。
理由是按遗嘱内容，妻子生儿子可以分遗产，妻子生女儿可以分遗产，妻子生了两个娃，就两次参与分配。把全部遗产平均分为两份，先拿一份出来，儿子和妻子按遗嘱分一次；再拿另一份女儿和妻子分一次。
所以，妻子分得遗产一半的三分之一加三分之二，即整份遗产的六分之一加六分之二等于六分之三就是二分之一。
儿子分得遗产一半的三分之二，即全部遗产的六分之二，就是三分之一。
女儿分得遗产一半的三分之一，即全部遗产的六分之一。
方案三
哪一种分配方案更符合数学家花拉子密的意愿呢？
如果从遗嘱分配的本意出发，我觉得花拉子密的意愿应该是：
遗产按人头分成均等的份额，每人一份，而花拉子密的那一份赠送给儿子，没有儿子的话就送给妻子。
所以，如果让我去主持分配花拉子密遗产的事务，我会分给儿子两个四分之一，也就是二分之一，妻子和女儿各得四分之一。
如果是你，你会怎么分配呢？