数学发展的4个阶段：萌芽、初等、高等、现代
现代数学绝不是某一个民族、地区、历史时期的产物，而是多民族、地区世世代代的生产实践中逐渐发展而成的。既有缓慢的量的积累，也有质的突破，表现出渐进性和阶段性。从远古到现在，数学发展大致经历了四个重要阶段。
数学的萌芽时期
在人类原始社会和奴隶社会直至公元前6世纪是数学的萌芽时期，该时期的数学成就主要出现在巴比仑、埃及和中国。
在萌芽期内，由于实际计算的需要，人们逐渐形成了简单的自然数和分数概念，也都积累了一些计算简单几何图形的面积和体积的几何知识。由于生产水平很低，商品生产极其有限，人们对数学的要求也不多，所以这个时期的数学知识仅仅限于一些简单的、与人们切身经验有直接关系的感性知积，且是零散的而不是系统的，有的公式是近似的，个别的方法还是错的。
初等数学时期
从公元前6世纪直到17世纪初期，是数学发展的初等数学时期，又被称为常量数学时期。在初等数学时期内，西方数学中心最先出现在希腊，然后是阿拉伯和印度，最后再转移到西欧；14世纪以前，中国数学处于领先地位。在数学内容方面，西方在2世纪以前是几何学优先发展阶段，2世纪以后则是代数计算优先发展阶段。
古希腊侧重于证明，中国更重视计算。在古希腊，由于社会物质财富的积累，使得奴隶主民主派中的出现专门从事脑力劳动的人，这些希腊的学者们从长期积累的数学材料中，发现可以运用基本概念、命题作为逻辑推理前提的逻辑证明等。从此数学知识开始逐渐系统化，产生了以欧几里得的《几何原本》为代表的数学著作。随着希腊的灭亡，希腊数学逐渐衰落，数学发展的中心逐渐移到阿拉伯。此时，代数开始独立于几何，成为数学新的分支，当时的成果包括：一元二次方程的公式解法，以自然数作指数的二项定理；三角学的出现等等。
如果说古希腊时期是科学发展的第一个黄金时期，那么欧洲的文艺复兴则是科学的第二个黄金时期。在继承古希腊和阿拉伯数学成就的基础上，欧洲取得更多的重要成就。比如：
- 代数学开始符号化，出现三次和四次方程的公式解法；
- “印度一阿拉伯数字”已经定型通用；
- 产生了十进小数和对数；
中国数学在独立地发展。成果主要有：
- 正负数运算法则
- 多元一次联立方程组的解法
- 秦九昭等的剩余定理和高次方程的数值解法
- 贾宪和杨辉等的二项式系数表，李冶和朱世杰的天元术和四元术，朱世杰和沈括等的高阶等差级数求和等
初等数学时期，除虚数外，初等数学基本上完备。从经验知识到理论知识，从感性认识到理性认识、从零散知识到系统知识，是初等时期区别于萌芽时期的最主要特征。初等数学时期的数学几乎全部被用于现在的中学教学。
初等时期人们的认识水平不高，只能掌握事物间的固定关系，不能从运动、变化和发展中把握事物，所以主要是以常量、有限和不变图形的研究为主，虽有极限思想及其初步运用。
近代数学时期
从17世纪到19世纪末，是西方资产阶级夺取政权、巩固政权以及资本主义的生产方式取得发展的时期，也是数学突破不断的近代数学时期，又称变量数学或高等数学时期。
17世纪的数学有如下几个特点：
- 在古希腊，几何学是数学的全部内容，代数除了以几何的面貌出现，也往往依赖几何方法解决和论证。直到17世纪，笛卡尔解析几何的建立，才出现了代数化的趋势，几何问题又常常依赖于代数方法解决和论证。
- 解析几何的建立，标志着变量开始进入数学。牛顿和莱布尼茨开启了微积分的时代，变量观念和方法得到系统运用。
- 费尔马、帕斯卡和惠更斯等人的概率论的产生，标志着数学开始涉猎偶然事件，开始研究非确定性现象。
在18世纪，数学家除了继续夯实微积分的基础外，还发展出无穷级数、常微分方程、偏微分方程以及变分法等学科，概率论也由起初的组合概率进入分析概率时期。
19世纪是欧洲人才辈出的时代。比如在数学的各个领域中都有建树的高斯、黎曼；敢于创新，作出重大突破的罗巴切夫斯基、伽罗瓦和康托尔；数学各个分支的杰出代表人物，比如分析学家柯西、几何学家史特纳、代数学家凯雷等。19世纪是欧洲继古希腊、文艺复兴之后，数学发展的第三个黄金时期。19世纪是数学取得一系列重大突破的世纪。
现代数学时期
从19世纪后期，数学开始发展进入“现代数学时期”。在该时期内，科学技术发生了一系列的重大事件。物理学上相对论、量子力学的产生，改变了经典物理学中的物质观、时空观和运动观。另外原子能的利用、电子计算机的发明、空间技术的兴起、分子生物学的形成、以及激光技术等领域的产生和发展，深刻地影响了人类社会的发展。
20世纪以来，数学在原有的基础上也有了巨大的发展，其速度之快、规模之大、抽象程度之高以及应用的广泛和深入等方面都远远超过了以往任何时期。现代数学也被称为结构数学或抽象数学，具有如下几个主要特征：
纯数学更加抽象，分支增多而又互相渗透。 现代大学所开设的数学基础课主要是：以微积分为中心的“高等数学”，以多项式理论和线性代数为基础的“高等代数”，或以射影几何为主题的“高等几何”，被称之为“三高”。“三高”内容大致形成于20世纪以前。现代大学数学系除“三高”基础课外，还有“新三高”：泛函分析、抽象代数和拓扑学。“新三高”始于19世纪，20世纪上半叶发展、定型和成熟。在原来抽象概念的基础上再次抽象出新溉念并加以研究，是抽象之后再抽象的结果。一方面各自研究的领域相互独立，另一方面又互相渗透。
现代数学以集合论为基础，以结构为对象。 19世纪80年代康托尔集合论的产生标志着现代数学时期的开启。在20世纪之初集合论得到很大的发展，其思想方法广泛应用于现代纯数学分支领域，因此，没有集合论的思想，很难对现代数学有一个全面、深刻的理解。
集合中的元素不同，其“结构”也就不同。法国布尔巴基学派就是用代数结构、序结构和拓扑结构将现代纯数学统一起来，把现代数学定义为研究结构的学科，犹如古代数学主要研究常量，近代数学主要研究变量一样。
重视数学基础和数学哲学向题的研究。 自古以来，哲学家就热衷于数学基础和数学哲学向题的研究。由于初期的集合论不完备，所以19世纪末，相继产生许多悖论，尤其是1902年的“罗素悖论”导致了数学的第三次危机。为解决“数学危机”，出现了推崇不同数学思想和哲学观点的学派，学派提出了不同的数学观点和改造数学的方案，并互相争论，至今尚无统一的定论。
数学公理化是数学家们追求的重要目标之一。 数学史上首个成功的理论体系，当属 欧几里得的《几何原本》，但随着数学的发展，其公理体系的缺点开始暴露。希尔伯特在总结了前人对《几何原本》的研究成果，出版了以公理方法建立数学的《几何基础》，该书是数学进入现代数学时期的又一个标志。从此数学公理化蔓延到其他数学领域，例如集合论、抽象代数、拓扑空间以及概率论等都先后公理化。数学家把一个数学分支的公理化，视为为学科成熟、基础稳固的标准，也作为重要追求目标。这种公理化的思想甚至已经影响到其他的科学领域。
新的数学分支大量的产生，数学应用更加广泛、深入。 除传统数学的继续发展外，20世纪新的数学分支如雨后春笋般地兴起，例如博奕论、规划论、排队论、最优化方法、运筹学等等；同数学关联的边缘学科，如控制论、信息论、系统论、生物数学等等。 电子计算机的产生与发展改变着数学发展的进程。 数学的发展促成了电子计算机的产生，而电子计算机的产生与发展，反过来促进数学发展。随着计算机的发展，离散数学、近似计算理论需要加强。同时催生了一些边缘学科，如人工智能、机器翻译、机器证明、图像识别等。计算机把数学家从繁重、机械的计算工作中解放了出来，使数学家能够集中精力于创造性劳动。