【计算能力】（6）如何计算 1²＋2²＋3²＋···＋n² 的和？

【篇首语】今天我们将用构造的方法，求一个式子的和值。方法很巧妙，但又很普通。

【分析】为了得到n²,我们在构造的代数式中，需要含有n²。有的同学说了，完全平方式行吗？就是(k+1)²=k²+2k+1.但是，这个式子在对k赋值的过程中，即令k=1,2,3,···,n-1,n,得到下面的式子：

2²=1²+2×1+1······(1)

3²=2²+2×2+1······(2)

4²=3²+2×3+1······(3)

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n²=(n-1)²+2(n-1)+1·····(n-1)

(n+1)²=n²+2n+1·····(n)

将上面的n个式子相加，我们发现里面的二次项大部分都消掉了，它得到的其实是：1+2+3+···+n=½n(n+1)这个公式.

所以，现在你看懂了吗？我们得用(k+1)³来构造。

【知识储备】:

(a+b)²=a²+2ab+b²

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

1+2+3+···+n=½n(n+1)

【解】构造:(k+1)³=k³+3k²+3k+1

令k=1,2,3,···,n-1,n, 可得：

2³＝1³＋3×1²＋3×1＋1³······(1)

3³＝2³＋3×2²＋3×2＋1³······(2)

4³＝3³＋3×3²＋3×3＋1³······(3)

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n³＝(n-1)³+3(n-1)²+3(n-1)+1³···(n-1)

(n+1)³＝n³+3n²+3n+1³·····(n)

将上面的n个式子相加，左右相消后，可得：

(n+1)³=1³+3(1²+2²+···+n²)+3(1+2+··+n)+n

将上式整理得：

【结语】：朋友们好，这就是第六期的计算题。你们学会了吗？

按照这个方法，还可以计算出很多类似的公式，比如：

1³+2³+3³+···+n³=?

还有四次方的，五次方的，可以一直这样延伸着求下去·····