如何定义什么是 1？
Q：我们可以从数学上证明 1+1=2，但是如何定义 1 是什么。如果说是 0 的后继数，那又如何定义 0 呢？
A：
一、签到题(40分)：回去询问你的一年级数学老师什么是1。
二、压轴题(60分)：阅读下列参考资料，发明一种1的定义。
皮亚诺公理，皮亚诺整数
1是自然数
1不是任何自然数的后继数
每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数
对于每个自然数b、c，b=c当且仅当b的后继数等于c的后继数
任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n' 也真，那么，命题对所有自然数都真.
说人话就是： 1就是1哪来这么多为什么...
update: 别纠结零是不是自然数了，大家不是小学生了, 又没人考你死记干嘛, 是不是反正都行，无所谓的。
戴德金-皮亚诺结构，戴德金整数
当然你也可以用谓词逻辑表达上面的五条公理.
同样表达了1就是1的思想.
ZFC(策梅洛-弗兰克尔集合论)，冯诺依曼整数
公理太多了不列举了，与整数的定义有关的主要是这几条：
空集公理承认不包含任何元素的集合是存在的，这样就避免了追究元素到底是什么。
其次根据外延公理，所有元素同属两集合则两集合相等，所以空集都是相等的，即空集是唯一的，记作∅。
所以令 ∅为0，然后定义后继运算
，于是
。
但是这个1和我们用的1还是有点不同的，怎么说呢....缺少序的概念...
还需要无穷公理保证自然数集合这个归纳集之后才会完全等同于我们平时用的1。
λ演算，丘奇整数
说人话就是，1 是一种高阶函数，作用于任意函数使其与自身复合。
说白了万物皆函数嘛，连这个都理解不了还学什么函数式....
END
赞 (0)