刘春梅:破解计算卡壳 提升数学运算素养——例谈一道解析几何题的五策略七方法

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破解计算卡壳    提升数学运算素养

——例谈一道解析几何题的五策略七方法

湖北随州二中       刘春梅

众所周知,数学运算是2017年新课标关注的核心能力之一,反映数学学科的基本特征。随着计算机科学的发展,数学运算已成为社会科学、科学技术等发展的基础,《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出:数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养。

在解析几何的教学中,经常遇到学生列出式子解不下去的情况,如何引导学生,让学生在计算卡壳处突破,提升运算素养?下面以一道解析几何题为例,只有理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,选择运算方法,设计运算程序,求得运算结果,帮助扫清学生计算障碍,多字母运算才能畅通无阻。

【题目分析】(1)为一个简单的求曲线方程问题,对学生来讲理解容易,计算简单,具体求解为:

  由题可知2a=4得a=2.

(2)为一个解析几何中常见的一类求定点问题,该问题常见的两种解题策略学生也不难掌握,值得一提的是各类各种解法均有计算难点,具体分析如下:基础计算部分求解为:

此为计算卡壳处,分析学生的问题:因x1,x2的系数不一致、不对称,韦达定理已不能彻底消去x1,x2,两个字母k,t之间的关系式将无从建立,直线恒过的定点不可知,怎么办?

打破僵局,策略一:求根逐源,打破思维定势

解法一:接上问题,可直接用求根公式,达到彻底消去x1,x2的目的,具体解法为:

当所求解式子中遇到出现x1,x2结构不对称的情况时,韦达定理整体代入后不能彻底消元,不能坐以待毙,可回归本源,直接用二次方程的求根公式求解,这也不失为一种算法。此时需要学生能打破设点而不求点的思维惯性,追本逐源,求根破解。

策略二:韦达定理不彻底,椭圆方程化对称。

解法二:后,

利用椭圆方程或椭圆的第三定义,可以将k1,k2之间的关系转化成同一点与一条直线与曲线两交点之间的斜率关系,可使式子中出现x1,x2前的系数相同,再利用韦达定理整体带入,从而简化计算,这种计算方法需要对已有的式子结构分析,联想相关联的式子,对学生的知识迁移、变通能力有较高要求。

策略三:选择同一参数,有效避开不对称结构

解法三:选择直线AM的斜率当参数

  此类解法直接将所求的直线上M,N两点的坐标用同一参数表示,从而有效的避开了系数不一致,用韦达定理消元不彻底的情况,也为计算的良策之一,也是研究直线恒过定点问题的常见策略。

策略四:特殊位置先探路 一般结论再证明

结合对称性和直线MN的特殊位置,虽然试题中说明直线MN斜率存在,但可考虑斜率不存在的情况,此时直线过定点H(—1,0)。

解法六:接解法一中,

策略五:拓展视野,极点极线显风采

解法七:接解法五③后

此类解法不适合考题中解答,但作为知识的拓展和延伸,可开阔学生视野。

很多情况下,解析几何的解答需要较强的计算能力,只有熟练掌握常规题型常规解法,做到敢于算、善于算、注重简算,积累计算经验,掌握计算技巧,终能算得正确的结果。

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