《3～6岁儿童学习与发展指南》“数学认知”目标解读
《3～6岁儿童学习与发展指南》（以下简称《指南》）将科学领域分成了科学探究和数学认知两个子领域。这是因为从儿童学习和发展的角度看，科学探究和数学认知尽管有着密切的联系，与儿童认知发展的关系都很密切，但它们作为两个不同的学科和学习与发展的领域，有着各自不同的发展目标和发展内涵。
儿童早期的数学学习和发展是指他们在与周围环境的互动中自发地或在成人的引导下习得数的知识、技能，发展数学认知能力的过程。它强调儿童对自己周围环境中的数学问题的关注和兴趣，强调在日常生活中通过感知、体验和操作活动理解数的抽象关系，并在解决问题的过程中运用所学的数学知识，逐步发展逻辑思维能力。
《指南》数学认知领域的目标侧重于数和形，这是儿童早期数学认知发展的最核心的内容。下面是对数学认知领域三条目标的解读。
一、初步感知生活中数学的有用和有趣
第一条目标尽管与数学内容有关，如涉及了形状和模式，但它最后落实在对数学的态度和体验的重要性以及数学学习的过程性能力上。在以往的数学教育中，人们关注较多的是数学内容本身，但近年来人们在关注数学内容的同时，开始关注数学学习中过程性能力的培养。如美国的学前和中小学的数学标准分为内容标准和过程性标准两个部分，内容标准提出了儿童应该掌握的数学知识和技能；过程性标准则提出了掌握这些知识技能的方法和运用知识的能力，包括解决问题、推理和证明、交流、联系、数学的表征。数学学习的过程性标准的提出反映了数学学科在促进儿童的思维能力方面所起到的特殊作用。它使我们认识到，数学学习并非局限于数的知识、概念和技能的习得。而是能促进综合性认知能力的发展。也正是这样的学习才能保证儿童真正理解和运用所学的数学知识。
1．发现数学与日常生活之间的联系
与儿童的生活经验建立联系，这是有效的数学学习和发展必不可少的前提条件。发现数学与日常生活之间的联系，能让儿童看到数学在实际生活中的用处。数概念之间的联系是儿童早期数学学习中的难点，也是重点。研究表明，儿童早期数知识的习得是和许多具体的情景相连的，但他们最初在不同的情景中并不会融会贯通地理解数，只有经过相当长的时间才能逐步整合。如儿童学会数数以后并不能马上就运用数数的方法去比较两个集合的多少或理解数数与加减运算之间的关系。这种联系还包括儿童的感性经验和正式数学知识之间的联系、不同的数学内容之间的联系、数学和其他知识之间的联系。
2．在生活中解决数学问题
第一条目标期望儿童能发现生活中许多问题都可以用数学的方法来解决。“解决问题”是数学学习的过程性能力之一，也是一种综合性能力。它需要儿童在实际的问题情景和已有的数学知识经验之间建立联系。
3．强调感性经验和兴趣在数学学习中的重要性
感知和操作经验在儿童早期数概念的学习和发展中极为重要，儿童对数学概念的理解首先在实物操作的水平上表现出来，然后逐步发展到表象水平，最后发展到抽象的符号水平。积极的情感体验在学习中能起到推动的作用，在数学学习中尤其如此。儿童早期往往更容易关注那些可感知的事物特征，会选择那些与自己的生活经验有直接联系的活动，而数学反映的是一种抽象的、看不见的关系，往往很难引起小年龄儿童的兴趣，所以在数学学习中如何引发他们的兴趣就成了教师和家长首先要考虑的问题。
二、感知和理解数、量及数量关系
第二条目标涉及一些最基本的数学知识技能和能力：量的比较、基数概念、集合比较、序数、加减运算，也涉及数学学习的过程性能力，包括数的表达交流、数的表征。相对而言，数的学习是儿童数学认知能力发展中的一个难点，因为数与数之间的关系看不见摸不着，它既涉及对数的抽象逻辑关系的理解，也涉及学习和运用人类发明的抽象的阿拉伯数字符号系统。
1．量的比较
儿童在日常生活中有大量的机会通过感知来了解和比较物体的各种特征。如通过积木来学习长度、重量和面积的知识，通过玩沙玩水来学习容量的知识，等等。第一条小目标所涉及的大多是连续量，如对物体大小、长短、粗细、轻重、容量、面积等属性的比较，只涉及一个非连续量：多少。这条目标对小班儿童的要求是理解有关大小、多少和高矮的概念，并能准确使用这些术语，即要求儿童在两两比较的情况下用语言来描述物体的量的特征。对中班儿童的要求是感知和区分粗细、长短、厚薄、轻重。同样是要求儿童能理解这些概念和会用相关术语描述物体的特征。对大班儿童的要求是能初步理解量的相对性。5～6岁的儿童已经开始理解物体的大小、长短、高矮的相对性，如在三个物体相比较的情况下，儿童能说出物体B小于物体A但大于物体C。
2．基数概念
掌握了基数概念说明儿童在数物体时已经理解最后说出的数是这一组物体的总数。数数是儿童早期数概念发展的重要基础，儿童通过具体情景和与实物有关的数数来学习基数概念。《指南》仅对小班儿童提出掌握基数概念的要求，具体涉及手口一致点数、说出总数和按数取物。按数取物是掌握基数概念的标志。如要求儿童从放有20颗纽扣的盒子中拿出5颗纽扣，儿童若能准确地拿出5颗纽扣则表明儿童已经真正理解了5的基数含义。说出总数是按数取物的前提，但能说出总数并不一定说明儿童真正理解了基数含义，因为儿童有可能是在一种模仿的水平上完成数数过程的，并不明白最后所说出的数代表整个集合的数量。根据已有的研究，要求小班末期的儿童掌握5的基数概念应该是最低要求。
3．序数
儿童序数概念的发展晚于基数概念。《指南》对中班儿童提出了“会用数词描述事物的顺序和位置”的要求。在这个年龄阶段，一般要求儿童掌握10以内的序数。
4．集合比较
运用数数来比较两个集合的大小是一个很复杂的认知活动。它涉及多方面的技能及这些技能之间的协调。从2岁半开始，儿童已逐步开始辨认4与5的多少。到3岁半以后，几乎所有的儿童都能比较4与5的多少。儿童先学会比较两个等量的集合，然后才会比较两个不等量的集合。《指南》对小班和中班儿童都提出了集合比较的要求。对小班儿童的要求是能通过一一对应的方法比较两组物体的多少。儿童一一对应的能力在4岁已开始发展，但发展得并不理想。研究发现，儿童这一能力的表现是有条件的，即只有在把物体排放成一一对应的状态时，儿童才会使用这种方法来比较，反之他们不会自发地采用这种方法。如果儿童还不会运用数数来比较的话，他们往往会采用估猜的方法。事实上，5以内的数量一般采用目测的方法就能比较多少，不需要用到一一对应的方法，所以一一对应的方法应该应用于比较5个以上的物体，即超出目测的范围才有实际意义。《指南》对中班儿童提出“能通过数数比较两组物体的多少”的要求，应该是可行的。
5．加减运算
儿童的实物加减运算能力在2岁左右开始表现出来。在掌握基数概念以前，儿童就已经知道添加或拿走物体的行为能使一个集合的数量增加或减少。这种有关物体的增加与减少的感性经验是学习加减运算的重要基础。运用实物的加减运算，不仅能帮助儿童真正理解加减运算的意义，也为以后的心算与书面运算提供了重要的基础。
《指南》对中班和大班均提出了有关加减运算的目标，但侧重于儿童对加减运算的实际意义的理解。如中班的目标是“能通过实际操作理解数与数之间的关系，如：5比4多1、2和3合在一起是5”。这是希望儿童在自己的操作活动中真正理解5以内数与数之间的关系。大班的目标有两条，一条是“借助实际情景和操作（如合并或拿取）理解‘加’和‘减’的实际意义”。对大班儿童来说，通过加减运算的学习最重要的是理解它们的实际意义，而不是提高运算技能。理解加减的实际意义意味着儿童能在实物操作的水平上理解10以内符号的意义及其数量关系，而不是仅仅会背诵几加几等于几的结果。另一条是“能通过实物操作或其他方法进行10以内的加减运算”。这条目标对儿童加减运算的技能提出了一定的要求，但儿童可以使用任何策略来完成加减运算，包括实物、借助手指、口头数数或心算。
6．表达和交流
第二条目标中蕴含了数学的“表达和交流”的过程性能力目标。所谓表达和交流即采用口头或书面形式，如采用图画、符号、地图等方式来说明或解释问题解决和数学推理的过程。儿童通过口头和书面的交流来更好地理解和巩固对数的理解。通过这种交流，他们能学会运用更准确的数学语言、数的符号系统来表达他们的理解。交流能使数学的思维具体化，并促使儿童对这一思维过程进行反思。儿童的口头数数交流最初出现在他们的日常生活中，如对食品和玩具的需求上。在真实的生活情景和操作活动过程中，在与周围人的接触过程中，儿童学到了许多有关数量的词和意义。他们也学会了在具体的情景中运用这些概念，但往往在用语言来表达这种理解时出现困难。
对小班儿童提出“能用数词描述事物或动作”的要求；对中班儿童提出“会用数词描述事物的顺序和位置”的要求。这两条目标既期望儿童能在日常生活中运用数，同时希望他们能学会运用数学的术语来表达自己的需求，加深对数学概念的理解。
7．表征
第二条目标中还蕴含了“表征”的过程性能力目标。儿童运用多种表现手段。如手势动作、实物、绘画、口头语言和书面语言来表征对数的理解。各种表征手段之间的联系和转换有助于儿童对数概念的理解，也有助于儿童从具体的数表征向抽象的数表征过渡。《指南》对大班儿童提出了“能用简单的记录表、统计图等表示简单的数量关系”的要求。学前儿童对数量之间关系的认识大多是在实物或口头数字的层面上进行的，而到大班末期，我们希望儿童对数量关系的理解逐步从具体到抽象，能够在书面符号表征的层面上反映出来，如运用简单的表格、数字符号等。这条目标既是对儿童表征能力发展的要求，也是对儿童最初的数据分析能力发展的要求。它期望儿童能提出自己的问题，并收集相关数据，对数据进行整理并能运用多种手段来表征数据。例如，今天户外活动，我们班有多少人选择拍球，多少人选择跳绳，多少人选择走平衡木。
三、感知形状与空间关系
空间感的发展不仅有助于儿童理解自己所处的空间世界，还有利于儿童学习数学的其他内容。如当儿童比较形状在空间中的方向和位置时，他们也在学习与“测量”有关的概念和术语；根据形状或其它几何特征进行分类的经验也是统计和数据分析的基本技能；摆弄几何形状有助于儿童熟悉方位以及其他空间术语，提高语言和阅读水平；在美术活动中，空间关系和几何形状更是不可缺少的元素。空间感和空间概念的建构与儿童的许多活动有着密切的关系，如美术、科学、音乐、阅读和游戏等。
1．形状
儿童很早就开始接触各种几何形状，他们通过多种活动和材料，如积木、粘土、折纸、几何拼板、画画、计算机游戏等来学习和表征几何形状。《指南》对小班儿童提出“能注意物体较明显的形状特征，并能用自己的语言描述”，这主要是对形状的整体认知和命名的要求。一般来说，小班儿童刚入园时已能认识3～4种形状，到小班末期可能认识6～7种形状。圆形与三角形是儿童最早掌握的几何形状，其他形状包括长方形、正方形、椭圆形、半圆形等。
对中班儿童的要求有两条，一条是“能感知物体的形体结构特征，画出或拼搭出该物体的造型”。这主要是指对各种形状的特征有更为细致的了解，如对边和角的认识，并能用图画或积木、油泥等材料对形状进行表征。另一条是“能感知和发现常见几何图形的基本特征，并能进行分类”。对形状进行分类要求儿童从对单个形状的认知扩大到对同一类形状的了解，如不同形式的三角形：对称三角形、直角三角形等。形状的分类有助于儿童在操作的过程中进一步感知和比较形状的特征，加深对形状的认识，并从中抽象出一类几何形状的共同特征。
对大班儿童的要求是“能用常见的几何形体有创意地拼搭和画出物体的造型”。在中班对形状进行单独表征和对相似形状进行比较和概括的基础上，要求大班儿童能通过对形状的有创意的组合形成一个新的“产品”，并能用图画表征出来。这条目标综合了几何形状、形状的组合、空间表征以及创造性思维品质等多种元素，并涉及了二维平面和三维形体之间的转换。
2．空间
教师可通过特定的玩具材料、手工制作、计算机游戏、示范、故事和其他方法来丰富儿童的空间相对位置和关系的知识。
《指南》对小班儿童的方位概念的认知提出了要求，“能感知物体基本的空间位置与方位，理解上下、前后、里外等方位词”。研究表明，小班末期的儿童大多数已经理解了上下、里外和前后的方位词，其中对“上下”和“里外”的理解好于对“前后”的理解。对中班儿童的要求是“能使用上下、前后、里外、中间、旁边等方位词描述物体的位置和运动方向”，增加了“中间”和“旁边”的方位概念，且要求儿童能用这些方位词来描述物体运动的方向。这意味着儿童不仅要在静止的状态下认识方位，还要能在物体动态的情况下来关注物体的方位和空间关系。对大班儿童的要求有两条：“能按语言指示或根据简单示意图正确取放物品”“能辨别自己的左右”。第一条目标涉及物体的空间方位表征以及实际物体的空间方位与符号表征的物体方位之间的对应。这里所指的简单示意图可以是物体的方位图或简单的地图。第二条目标要求儿童能够以自己为中心区别左右。
从数学认知的内容来看，三条目标都强调了儿童在感知层面体验和学习的重要性。儿童早期的数学学习的感知经验确实很重要，它是形成数的抽象概念的前提，但我们也要认识到，数学知识涉及对事物之间抽象关系的认识，因而数学学习光有感知经验还是不够的，它只是第一步，对感知经验的反思和抽象才能帮助儿童真正理解数的概念和数量关系。
最后需要说明的是，现有的幼儿园数学教育内容中的分类、排序和模式没有作为《指南》中的核心内容。近年来，分类、排序和模式一直是我国幼儿园数学教育的组成部分，目前也是欧美国家学前数学教育的主要内容之一。《指南》尽管在数学认知领域没有提出明确的分类、排序和模式的教育目标，但科学领域还是涉及了有关分类、排序和模式的初步技能，如要求儿童“能对事物或现象进行观察比较，发现其相同与不同”“能发现和体会到按一定规律排列的物体比较整齐、美观”。我们认为，在教育实践中，把分类、排序和模式认知活动作为数学教育的内容仍然是可取的。