初中数学：全面总结几何变换法
成才路上
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几何变换法
构成一个新的关系,从而使问题获得解决.
它们的理论依据是三种变换的定义及性质,具体如下:
(一)平移变换
1.定义:将图形F上的所有点都按照一定的方向移动一定的距离形成图形F',则由F 到F'的变换叫作平移变换.
2.平移不改变图形的大小和形状.
特点:(1)平移前后线段长度不变;
(2)平移前后角的大小不变;
(3)平移前后的对应线段保持平行或在同一直线上.
3.在解决几何问题时,为了寻求解题途径,可以把题目中的某些线段平移到某一适当位
置,作出辅助图形,使问题得到解决.作平行线是平移变换的一种常见形式.
(二)轴对称变换
1.定义:
把图形G沿着直线l折过来,如果和图形G'重合,那么我们称这两个图形关于直线l“对称”.两个对称图形中的对应点叫作关于直线l的对称点,直线l叫作对称轴.
轴对称图形有以下两个性质:
(1)对应点的连线被对称轴垂直平分;
(2)对称轴上任一点到两对应点的距离相等.
运用对称思想解几何问题的基本做法是把图形的全部或一部分做轴对称变换.
2.常根据下面的一些特殊情况做轴对称变换:
(1)与线段中点有关的问题,常取该线段的垂直平分线为对称轴做变换;
(2)与角平分线有关的问题,常取角平分线所在的直线为对称轴做变换;
(3)与等腰三角形有关的问题,常取底边的中垂线为对称轴做变换;
(4)与正三角形或正方形有关的问题,常利用正三角形或正方形的特性做轴对称变换,等.
(三)旋转变换
1.定义:将图形G绕平面上的一个定点O 旋转一个角度θ,得到图形G',这样由G 到G'的变换叫作旋转变换,点O叫作旋转中心,θ叫作旋转角.
2.旋转不改变图形的大小和形状.特点:
(1)旋转前后线段长度不变;
(2)旋转前后角的大小不变;
(3)旋转前后对应线段的夹角等于旋转角.
3.在使用旋转变换解题时需具备图形旋转变换的基础,即存在相等的线段,这种方法一
般常用于等腰三角形、正方形图形中.几何变换法是数学中一种重要的方法.它的应用十分广泛,在解决几何问题时,平移、翻折、旋转是全等变换,它起到了将线段、角转移的作用,将分散的条件集中起来,从而达到完美的解题效果.
（1）轴对称变换在解题中的应用
【典型例题】如图,在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O 在坐标原点,顶点A,B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D 为边OB 的中点.若E,F为边OA 上的两个动点,且EF=2,当四边形CDEF 的周长最小时,求点E,F的坐标.
【思路分析】由于CD 和EF 是两定长线段,因此,四边形CDEF 的周长最小值其实就是DE+CF的最小值.动点E在F 左侧,且EF=2(定值),点E 确定点F 随之确定,反之亦然.通过平移点F让F,E重合,可将“双动点”转化成“单动点”,点C随之向右平移长度2,这就转化成了最基本的“将军饮马”模型.
【答案解析】
（2）平移变换在解题中的应用
【典型例题】如图,在△ABC中,∠B=90°,M 为AB上一点,使得AM=BC,N为BC上一点,使得CN=BM,连接AN,CM 交于点P,求∠APM 的度数.
【思路分析】本题要求∠APM,通过猜测∠APM=45°,可联想到将其置于直角三角形中,于是将∠APM 的顶点向边上或者顶点处转移,考虑平移AN 或MC,由平行线的移角功能可以实现.连接KM,出现了直角三角形KMC.本题解法不唯一,将顶点转移到点A,C,M 处均可得证.
【答案解析】
（3）旋转变换在解题中的应用
【典型例题】如图,以△ABC的AB,AC边为边向形外作正方形ABDE与正方形CAFG,连接EF,过A作BC的垂线,分别交EF,BC于M,H.求证:EM=FM.
【思路分析】本题要证EM=FM,只需使MA 成为某个三角形的中位线即可,于是考虑构造
这个三角形,构造后发现,由于AB,AC向外作正方形,由 “等线段、共顶点”,其实构造的部分就是将△ABC绕点A 顺时针旋转90°得到的.
【答案解析】