走不尽的莫比乌斯环

顾冰

很久以前，有个小偷在偷一个农民的财物时被当场捕获并送到了县衙，县官发现小偷竟是自己的侄子，于是写了一张小纸条给执事官，交由他去办理。纸条的正面写着：小偷应当放掉;反面写着：农民应当关押。聪明正直的执事官将纸条扭转了一下，用手指将两端捏在一起，然后向大家宣布：根据县太爷的命令，应当放掉农民，关押小偷。县太爷得知后大怒，责问执事官为何违背他的命令，执事官将纸条捏在手上给县太爷看，从“应当”二字读起，的确是关押小偷，放掉农民。县太爷再仔细地看了看纸条，的确是自己的字迹，也没有被涂改，县官不知其中奥秘，只好自认倒霉。

莫比乌斯环的由来

其实这位执事官并不是变了什么魔术，他只是将纸条扭转弯曲成了一个莫比乌斯环，使它具有了莫比乌斯环单侧曲面的特性。莫比乌斯环是由德国的数学家莫比乌斯和约翰·李斯丁发现的。将一根纸条扭转180度后，将两端粘贴起来做成的纸环就是莫比乌斯环。它是一种单侧的、不可定向的曲面。这样的纸环只有一个面，假如我们在莫比烏斯环状的公路上行走，会永远走不到尽头，因为我们根本分不出哪里是起点，哪里是终点，就像处在一个无尽的循环当中，就像念诵回文诗一样。

趣味莫比乌斯环

制作莫比乌斯环的过程非常简单，只需将一个纸条的一端旋转180度再首尾相连即可。但如果我们把得到的纸环剪开就会发现许多奇妙的现象。

假如我们把一个普通的纸环，沿中线剪开，我们会得到两个纸环。但如果我们把一个莫比乌斯环沿中线剪开，我们会得到什么呢？

剪开后，居然没有一分为二，而是变成了一个大环。那如果将莫比乌斯纸环沿着三等分线剪开，又会得到什么呢？

如果沿着莫比乌斯环3等分处剪开，会在剪完2个圈后又回到原点，形成一大一小相互套连的两个环，大环周长是原莫比乌斯环的两倍，小环周长与原莫比乌斯环相同。

如果我们进一步实验，将莫比乌斯环沿4等分线剪开，我们会发现下面的现象：

居然剪出了两个互相链接的纸环，展开2个纸环并拉直，可以看出2个纸环是一样长的。将莫比乌斯环沿5等分线剪开，则可以剪出3个互相链接的纸环，展开3个纸环并拉直，可以看出其中2个环一样长，另一个环长度是其他两环的一半。将莫比乌斯环沿6等分线剪开，可以剪出3个互相链接的纸环，展开3个环可以看到，3个环一样长。

莫比乌斯环的规律

感兴趣的话大家可以继续往下试验，我们会发现莫比乌斯环等分后得到的环数以及环的周长存在着一定的规律：

假设原来的莫比乌斯环长度为a，宽度为b，扭转度数为π（π为180度）

如果我们变换分割方式，沿着1/2、1/3线分割，从得到的莫比乌斯环结构中我们又会发现新的规律：

通过分割我们发现，沿着1/N线分割（N大于2），永远只会得到两个相互套连的纸环，而且其中一个纸环的长度为另一个的2倍，但随着N的变化，得到的2个纸环宽度也会产生相应的变化，具体见下表：

莫比乌斯环看似是一个简单的纸环，却蕴藏着无尽的奥秘。它的发现使拓扑学有了长足的发展。拓扑学（topology）是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持一些性质不变的学科。通俗来讲，拓扑就是无论我变成什么形状，我还是我。

莫比乌斯环在生活中的应用也很多，如动力机械的传送皮带是单面的话，可磨损面积就很有限，而采用莫比乌斯环的形状就可以增大磨损面积，降低报废率。同样，莫比乌斯环还可以应用于减缓橡胶老化，延长针式打印机的色带使用周期等。

所以，科学的奇妙现象就在我们身边，只要有善于观察的眼睛和勤思考的大脑，就能发现并利用它。