2021浦东一模25题解法分析

2021浦东一模25题解题背景：

解法分析：如图可知，本题第1问是特殊情况，同时是一个典型的一线三等角模型，得▲ABE∽▲ECF，由CF:CE=1:3，可知BE:AB=1:3，得到AB和BE的比。得到本题的结论▲BAE和▲CEF的面积比为AB和EC比的平方。

解法分析：由第1问一线三等角的思路，第2问可以构造“一线三等角”模型，进行问题解决。除了▲AGE∽▲EFH外，还有一组▲ABG∽▲FCF。设CH=x，CF=k，EF=3k，先利用▲ABG∽▲FCF及勾股定理得到AG和FH的长；再根据▲AGE∽▲EFH，得到x和k的数量关系，最终得到cosB的值。

解法拓展：除了构造一线三等角模型外，本题开可以根据E是BC中点，利用旋转对称性构造全等三角形，通过线段的转化，最终解▲ADF，求出cosD的值，同样解决了问题。

解法分析：由第1、第2问的添线思路，本题的第3问还是可以沿用“一线三等角模型”进行问题解决。除了第二问中涉及的两组相似三角形外，本题中还增添一组数量关系可以应用，即tan∠AFE=tan B，和第2问设元的思想一样，建立数量关系，最终求出菱形的边长。

解法拓展：除了作垂线构造一线三等角外，本题由∠D=∠AFE=∠ECP，构造等腰▲ECP，这也是另一种构造一线三等角的方法。这种添线方法不仅构造了相似▲ADF与▲EFP，建立比例线段外，还得到了tan∠AFE=tanP，同样得到了另一组比例关系。

解法拓展：除了解法1和解法2中涉及的一线三等角模型外，也可以和解法2一样，构造等腰三角形，继而得到▲APF∽▲CEF，仍旧利用tanD=tan∠AFE建立比例关系。（以上解法部分参考“跟着老张玩数学”公众号）

虽然上题三问的解题背景不同，但是主要思路都是围绕着构造“一线三等角”模型进行展开。因此对于这样层层递进的变式型压轴题，延用解题思路进行问题解决是关键。

🎀推广1：全等背景下的一线三等角模型

🎀推广2：相似背景下的一线三等角模型

🎀推广3：正三角形背景下的一线三等角模型

🎀推广4：四边形背景下的一线三等角模型

如图1，当∠1=∠2=∠3时，▲ACP∽▲DBP；特别地，当P为AB中点时，三个三角形两两相似，即▲ACP∽▲DBP∽▲CDP.

🎀推广5：与一线三等角模型相关的相关链接

一线三等角模型中的简单应用；

与相似三角形相关的压轴题(2)；

正方形背景下的一线三等角问题；