【理解黎曼几何】1. 一条几何之路

一个月没更新了，这个月花了不少时间在黎曼几何的理解方面，有一些体会，与大家分享。记得当初孟岩写的《理解矩阵》，和笔者所写的《新理解矩阵》，读者反响都挺不错的，这次沿用了这个名称，称之为《理解黎曼几何》。

生活在二维空间的蚂蚁

黎曼几何是研究内蕴几何的几何分支。通俗来讲，就是我们可能生活在弯曲的空间中，比如一只生活在二维球面的蚂蚁，作为生活在弯曲空间中的个体，我们并没有足够多的智慧去把我们的弯曲嵌入到更高维的空间中去研究，就好比蚂蚁只懂得在球面上爬，不能从“三维空间的曲面”这一观点来认识球面，因为球面就是它们的世界。因此，我们就有了内蕴几何，它告诉我们，即便是身处弯曲空间中，我们依旧能够测量长度、面积、体积等，我们依旧能够算微分、积分，甚至我们能够发现我们的空间是弯曲的！也就是说，身处球面的蚂蚁，只要有足够的智慧，它们就能发现曲面是弯曲的——跟哥伦布环球航行那样——它们朝着一个方向走，最终却回到了起点，这就可以断定它们自身所处的空间必然是弯曲的——这个发现不需要用到三维空间的知识。

说是这么说，但估计你在标准的黎曼几何教材（我们用的是Carmo M.p.的《黎曼几何》英文版）上完全不会看到以上观点——当然，有可能在序言中提及一点，仅此而已。你所看到的，可能是一大堆“流形”、“同胚”、“切丛”、“度规”、“联络”、“外微分”等等各种各样一样看上去就让人觉得莫名其妙的概念。然后埋头学了一学期，就感觉在学抽象的泛函分析（黎曼泛函？），完全没有一点几何的味道，甚至都没有人怀疑过，我们真的是在学习几何吗？除了没有几何味道外，很多概念的引入，跳过了实际几何背景，纯粹是一个抽象的定义，比如说度规，它说的是在切空间引入内积，然后得到度规，然后切空间的向量内积可以用度规表示——看上去很清楚了，但事实上这时候很多同学连切空间是什么都还没搞清楚，而且即便搞清楚了，他们也会迷茫：这又是什么东西，为啥要这样做？

诚然，抽象有抽象的好处，搞清楚抽象的东西之后，往往能够解决一大类问题。但毕竟，这是一门几何课，我们要有些直观的东西在里边，不要让细致而严格的数学概念妨碍了思维。直观也许不是数学追求的最终目标，但直观往往是灵感的源泉。

Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann

本文中，笔者尝试一条几何的途径，来阐述黎曼几何中一些比较重要的概念，这不是一条适合入门的路径，比如我们很快地就通过变分来计算测地线，这如果对于入门来说可能要求过高了，但前后考虑之下，读者也许能够感觉到，这是一条“很有几何味道”的路径——在这里，没有流形，没有外微分，也没有张量。为了寻求思路和灵感，我特意去看了《黎曼全集》里边的黎曼关于几何的原论文——既然是黎曼几何，怎么可以不看黎曼的论文呢？——看了之后发现，黎曼当初采用的叙述方式，跟本文由类似之处，比如他也是很快地从度规出发，由变分法导出了测地线方程，然后展开其他讨论。可见，变分法干净利落，确实值得学习。

对于追求严谨的读者，需要指出的是，我们这里实际上只讨论了无挠几何（即假设挠率为0）的情形，广义相对论中所用到的黎曼几何也是无挠的。无挠实际上就意味着空间处处局部等价于平直空间，这一形式的几何是比较实用的，即便要深入了解有挠几何，也需要先深刻了解无挠几何。

本系列参考了笔者所拥有的所有有关黎曼几何和广义相对论的书，包括：

《微分几何》（彭家贵、陈卿著）
《黎曼全集1》（高教出版社）
《引力论》（MTW的引力圣经，里边有大量的计算例子）
《场论》（朗道）
《引力与时空》
《费曼物理学讲义》（脍炙人口的物理学教材）
《费曼引力学讲义》（费曼的广义相对论教程）
《现代几何学:方法与应用》第一卷:几何曲面、变换群与场

读者也可以阅读以上的著作辅助理解。最后再重复一次，本系列文章难以成为独立的黎曼几何教程，最多也只是现有黎曼几何教程的一个几何意义的补充，有很多更深入的内容，还需要标准的教材。笔者只是尝试诠述一些基本的内容的几何意义，并且提供一条将它们联系起来的线索。